常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案0.docx
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常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案0
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
篇一:
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
习题1-1
1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解:
(1)y?
c2x1e?
c2e?
2x,y?
?
?
4y?
0.证
明
:
?
y?
cx1e2?
c?
2x2e,
则
y?
=
2c2x1e2x?
2c2e?
y4cx1e2?
4cx2e?
2,y?
?
?
4y?
0.∴y?
sinx
x
,xy?
?
y?
cosx.证明:
∵
y?
sinx
,y?
?
xcosx?
sinxx
则
x2
xy?
?
y?
xcosx?
sinxx?
sinx
x
?
cosx
(3)y?
x(?
exx
dx?
c),xy?
?
y?
xex
.
证明:
∵y?
x(?
exxdx?
c),则yexex
x?
c?
x
x,exex∴xy?
?
y?
x?
x?
c?
x
xx(?
ex
?
x
?
c)?
xex?
?
(x?
2)(4)?
?
4,x?
c1
,y?
?
?
0,cy’
?
1?
x?
?
c2,
?
?
(x?
2)
?
4
,c2?
x,证明
:
(1)当
x?
c1
时2
y=?
(x?
)1
4
,y’=?
x?
2
其他情况类似.
2.求下列初值问题的解:
(1)yx,y(0)?
a0,y?
(0)?
a1,y?
?
(0)?
a2.
解:
∵yx,∴y
12
x2
?
c1,∵y?
?
(0)?
a2,∴c1?
a2,∴y?
?
16
x3
?
a2x?
c2,∵y?
(0)?
a1,∴c2?
a1,(2),
∴y?
124x4?
1
2
a2x2?
a1x?
c,∵y(0)?
a0,满足初值问题的解为:
y?
141
24x?
2
a22x?
a1x?
a0.dy
dx
?
f(x),y(0)?
0,(这里f(x)是一个已知的连续函数)解:
∵
dy
dx
?
f(x),即dy?
f(x)dx,∴x
x
?
dy?
?
f(t)dt?
c,
x
∴y(x)?
y(0)?
?
f(t)dt?
c,∵y(0)?
0,∴
c?
00
x
∴满足初值问题的解为:
y(x)?
?
f(t)dt.
(3)
dR
dt
?
?
aR,R(0)?
1,解:
①若R?
0,则∵
dR
R
?
?
adt,两边积分得:
lnR?
?
at?
c∵R(0)?
1∴c?
1
∴满足初值问题的解为:
R?
e
?
at
(4)
dy
dx
?
1?
y2,y(x0)?
y0,解:
∵
dydx?
1?
y2,∴dy1?
y
2?
dx,两边积分得:
arctgy?
x?
c.
∵y(x0)?
y0,∴c?
arctgy0?
x0.
∴满足初值问题的解为:
y?
tg(x?
arctgy0?
x0).
(1)函数y?
?
(x,c1,c2,
,cn)是微分方程F(x,y,y?
,y(n))?
0
的通解,其中
c1,c2,cn是独立的任意常数,
(2)存在一组常数(1,2,
,cn)?
Rn和空间中的点
0(0,0,0
,,y
(n?
1)0
)
(3)满足
3.假设
?
?
0?
?
(0,1,,cn)0?
(0,
1,,cn)?
?
?
x
?
?
(n?
1)?
(n?
1)?
0
?
xn?
1
(0,1,,cn)
试证明:
存在点0的某一邻域U,使得对任意一点
M0(x?
(n?
1)0,y0,y0,y0),
可确定一组数ci?
ci(M0),
i?
1,2,
,n,使得
y?
?
(x,c1(M0),c2(M0),
,cn(M0))
是初值问题
y(x,y?
(x,y
(n?
1)
(x1)0)?
y00)?
y0,0)?
y(n?
0?
?
F(x,y,y?
,y
(n?
1)
)?
0的解.证明:
因为y?
?
(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?
,y(n))?
0的
通解,
所以初值问题
y(x(n?
1)
0)?
y0,y?
(x0)?
y0,,y
(x(n?
1)0)?
y0?
?
F(x,y,y?
,y
(n?
1)
)?
0的解应具有形式y?
?
(x,c?
?
1,c2,
,c?
,其中(c?
?
n)1,c2,,c?
n)应
满足:
?
?
y0?
?
(x0,c?
1,,c?
n)
?
y(x,c?
1
,,c?
?
0?
?
x0n
)
,(*)?
?
(n?
1)?
(n?
1)?
?
y0xn?
1
(
x0,c?
1,,c?
n)如何确定(c?
1,c?
2,
,c?
n)呢?
由条件(2)及隐函数定理知,存在点0的某一邻域U,使得
对任意一点M?
1)0(x0,y0,y?
0
,,y
(n0
)可确定一组数
c?
?
i?
ci(M0),i?
1,2,
,n,使得
(*)成立.得证.
4.求出:
(1)曲线族y?
cx?
x2
所满足的微分方程;
解:
y?
cx?
x2,y?
?
c?
2x,xy?
?
cx?
2x2
,
则有:
xy?
?
x2
?
y.
(2)曲线族y?
c1ex?
cx2xe所满足的微分方程;
xx解:
由y?
c?
?
y?
?
c1e?
cx
2e?
c1
xe1ex?
c2xexycxxx
,1e?
2c2e?
c1xe
联立消去c1,c2得:
y2y?
?
y?
0.
(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程;
解:
平面上以原点为中心的圆的方程为x2?
y2?
r2(r?
0)将视y为x的函数,对x求导得:
2x?
2yy?
?
0
平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?
yy?
?
0.
(4)平面上一切圆所满足的微分方程.
解:
平面上圆的方程为:
(x?
a)2?
(y?
b)2?
r2(r?
0),将y视为x的函数,对x求导得:
?
?
2(x?
a)?
2(y?
b)y?
?
0
?
2?
2?
2(y?
b)y2?
y’?
?
0联立消去a,b得,2(y?
b)y4y0
[1?
(y?
)2]y3y?
(y?
?
)2?
0.
习题1-2
1.
作出如下方程的线素场:
(1)y?
?
xyxy
(2)y?
?
(y?
1)2
(3)y?
?
x2?
y2
2.利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族:
(1)y?
?
1?
xy
篇二:
常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案
习题2-1
判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解:
1.(3x2?
1)dx?
(2x?
1)dy?
0
解:
P(x,y)?
3x2?
1,Q(x,y)?
2x?
1,
则?
P?
y?
0,?
Q?
x?
2,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
即原方程不是恰当方程.
2.(x?
2y)dx?
(2x?
y)dy?
0
解:
P(x,y)?
x?
2y,Q(x,y)?
2x?
y,
则?
P?
y?
2,?
Q?
x?
2,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
,即原方程为恰当方程则xdx?
(2ydx?
2xdy)?
ydy?
0,
两边积分得:
x222xy?
y2
?
2
?
C.3.(ax?
by)dx?
(bx?
cy)dy?
0(a,b和c为常数).解:
P(x,y)?
ax?
by,Q(x,y)?
bx?
cy,
则
?
P?
y?
b,?
Q?
x?
b,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
,即原方程为恰当方程则axdx?
bydx?
bxdy?
cydy?
0,
ax2cy2
两边积分得:
2?
bxy?
2
?
C.4.(ax?
by)dx?
(bx?
cy)dy?
0
(b?
0)
解:
P(x,y)?
ax?
by,Q(x,y)?
bx?
cy,
则
?
P?
Q?
y?
?
b,?
x?
b,因为b?
0,所以?
P?
Q?
y?
?
x
,即原方程不为恰当方程
5.(t2?
1)cosudu?
2tsinudt?
0
解:
P(t,u)?
(t2
?
1)cosu,Q(t,u)?
2tsinu
则
?
P?
t?
2tcosu,?
Q?
x?
2tcosu,所以?
P?
y?
?
Q
?
x
,即原方程为恰当方程
则(t2
cosudu?
2tsinudt)?
cosudu?
0,
两边积分得:
(t2?
1)sinu?
C.6.(yex?
2ex?
y2)dx?
(ex?
2xy)dy?
0
解:
P(x,y?
yex?
2ex?
y2,Q(x,y)?
ex?
2xy,
则
?
P?
y?
ex?
2y,?
Q?
x?
ex?
2y,所以?
P?
y?
?
Q
?
x
,即原方程为恰当方程
则2exdx?
[(yex?
y2)dx?
(ex?
2xy)dy]?
0,两边积分得:
(2?
y)ex?
xy2?
C.
7.(
y
x
?
x2)dx?
(lnx?
2y)dy?
0解:
P(x,y)?
yx
?
x2
Q(x,y)?
lnx?
2y,
则
?
P1?
Q?
y?
x,?
x?
1x,所以?
P?
Q
?
y?
?
x
,即原方程为恰当方程
则(yx
dx?
lnxdy)?
x2
dx?
2ydy?
0
两边积分得:
x3
3
?
ylnx?
y2?
C.8.(ax2?
by2)dx?
cxydy?
0(a,b和c为常数)
解:
P(x,y)?
ax2?
by2,
Q(x,y)?
cxy,
则
?
P?
Q?
y?
2by,?
x?
cy,所以当?
P?
Q
?
y?
?
x
,即方程为恰当方程
则ax2dx?
(by2dx?
cxydy)?
0
两边积分得:
ax3
?
bxy23
?
C.而当2b?
c时原方程不是恰当方程.
9.2s?
1s?
t?
s2
dst
2dt?
0解:
P(t,s)?
2s?
1t)?
s?
s2
,Q(t,st
2,则?
P?
t?
1?
2s?
Q1?
2s?
P?
Qt2,?
s?
t2,所以?
y?
?
x
,方程,
s?
s2
两边积分得:
t
?
C.2b?
c时,原即原方程为恰当
10.xf(x2?
y2)dx?
yf(x2?
y2)dy?
0,其中f(?
)是连续的可微函数.
解:
P(x,y)?
xf(x2?
y2),Q(x,y)?
yf(x2?
y2),
则?
P?
Q?
y?
2xyf?
?
x?
2xyf?
所以?
P?
y?
?
Q
?
x
,即原方程为恰当方程,
两边积分得:
?
f(x
2
?
y2
)dx?
C,
即原方程的解为F(x2?
y2)?
C(其中F为f的原积分).
习题2-2
.1.求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域:
:
dyx2
(1)dx?
y
解:
原方程即为:
ydy?
x2dx两边积分得:
3y2
?
2x3
?
C,
y?
0.
dyx2
(2)dx?
y(1?
x3
)
解:
原方程即为:
ydy?
x2
1?
x
3
dx
两边积分得:
3y2?
2ln?
x3
?
C,
y?
0,x?
?
1.
(3)
dy
dx
?
y2sinx?
0解:
当y?
0时
原方程为:
dy
y2
?
sinxdx?
0两边积分得:
1?
(c?
cosx)y?
0.
又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为
1?
(c?
cosx)y?
0.
(4)dy
dx
?
1?
x?
y2?
xy2;解:
原方程即为:
dy
1?
y
2
?
(1?
x)dx两边积分得:
arctgy?
x?
x2
2?
c,即y?
tg(x?
x2
2
?
c).(5)
dy
dx
?
(cosxcos2y)2解:
①当cos2y?
0时
原方程即为:
dy(cos2y)
2
?
(cosx)2
dx两边积分得:
2tg2y?
2x?
2sin2x?
c.②cos2y=0,即y?
k?
2?
?
4
也是方程的解.(6)x
dy
dx
?
?
y2解:
①当y?
?
1时原方程即为:
dydx?
y2
?
x
两边积分得:
arcsiny?
lnx?
c.②y?
?
1也是方程的解.
dyx?
e?
x
(7).dx?
y?
ey
解.原方程即为:
(y?
ey
)dy?
(x?
e?
x
)dx
k?
N)(
22
两边积分得:
y2?
ey?
x2
?
e?
x?
c,原方程的解为:
y2?
x2?
2(ey?
e?
x)?
c.
2.解下列微分方程的初值问题.
(1)sin2xdx?
cos3ydy?
0,y(?
)?
?
23
;
解:
两边积分得:
?
cos2x2?
sin3y
3
?
c,即2sin3y?
3cos2x?
c
因为y(?
2
)?
?
3
,所以c?
3.
所以原方程满足初值问题的解为:
2sin3y?
3cos2x?
3.(2).xdx?
ye?
x
dy?
0,y(0)?
1;
解:
原方程即为:
xex
dx?
ydy?
0,
两边积分得:
(x?
1)ex
dx?
y2
2
dy?
c,因为y(0)?
1,所以c?
?
1
2
,所以原方程满足初值问题的解为:
2(x?
1)exdx?
y2dy?
1?
0.
(3).
dr
d?
?
r,r(0)?
2;解:
原方程即为:
dr
r
?
d?
,两边积分得:
lc,因为r(0)?
2,所以c?
ln2,
所以原方程满足初值问题的解为:
lln2即
r?
2e?
.
(4).
dy
dx?
lnx1?
y
2,y
(1)?
0;解:
原方程即为:
(1?
y2
)dy?
lnxdx,
两边积分得:
y?
y3
3
?
x?
xlnx?
c,因为y
(1)?
0,所以c?
1,
所以原方程满足初值为:
y?
y3
3
?
x?
xlnx?
1
篇三:
第2章习题2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习
(1)y?
1)3.v?
1?
2,2v?
1
ln
1?
u?
1?
u?
x?
c,
?
8y?
?
c.?
3,
(2),x2
z?
ce.?
x2?
1
(v?
u)?
2.
(1)y?
?
cos(x?
y)2
x?
v,y2?
u,
①当cosu?
11两边积分得:
ctg2解:
令u?
x?
y②当cosu?
1(2)(3uv?
v)du?
(u解:
方程两边同时乘以2
2
?
u?
?
1得?
,令v?
?
2?
m?
z,则m?
zn,令nn,
?
2x2?
y2?
3)3.
(3u2v?
uv2)du?
即(3uvdu?
u2322
,u?
y,v?
xdy(3)(x?
y?
3)?
dx2
2
?
m?
n?
,
?
udx
+
p(x)ue?
udx
?
q(x)e
?
udx
.
即有:
u2?
u?
?
p(x)u5.
c?
2x).
45?
.
解:
设此曲线为y?
y(x)dyy?
dxx?
tg45?
?
1dyy1?
dxx
6.探照灯的反光镜(旋转面)反射成平行线束?
维坐标系.
设所求曲面由曲线?
?
0;
?
3e3xy2)dy?
0,
?
ey?
c.3x
3
?
y?
?
z?
结为
求xy平面上的曲线1
?
(2xe2y?
)dy?
0y
即
(edx?
2y1?
)dy?
0,y2
6(3).(3x?
)dxy?
2dy)?
0,
y(3x2y即(3x2x
?
c.(4).ydx?
(x2?
2
)?
dy?
0,ylny?
c(5).2xydx?
(x3
2
?
0,
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- 微分方程 同仁 李承志 第二 第一章 答案