数学分析课本华师大三版.docx
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数学分析课本华师大三版
数学分析课本(华师大三版)
篇一:
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章
第八章不定积分
一.填空题
x
1.若f?
(e)?
1?
x,则f(x)?
___________
2.设f(x)的一个原函数为xe,则?
xf?
(x)dx?
_____________3.若e
?
x
x
是f(x)的一个原函数,则?
xf(x)dx?
________________
4.若f(x)?
1,则f(x)?
____________5.?
max(x,x)dx?
___________________
6.若f(x)有原函数xlnx,则?
xf?
?
(x)dx?
_______________7.?
ln(sinx)sin
2
?
3
?
?
2
x
dx?
________________
8.若?
dx(1?
2cosx)
2
?
Asinx1?
2cosx
?
B?
dx1?
2cosx
,则A?
__________,B?
__________
9.设?
xf(x)dx?
arcsinx?
C,则?
dxx(4?
x)
lnx?
1x
2
dxf(x)
?
_________
10.?
?
_________________
11.?
dx?
_________________
12.?
13.?
14.?
?
a?
sin(lnx)?
cos(lnx)
n
x
?
________________
?
f(x)?
xf?
(x)?
dx
dx1?
e
x
?
________________
?
_____________
15.?
16.?
xe
x2
(1?
x)
dx?
_____________________
4sinx?
3cosxsinx?
2cosx
dx?
______________
2
17.已知f?
(2?
cosx)?
sinx?
tan
2
x,则f(x)?
_______________
18.?
f?
(x)1?
?
f(x)?
2
dx?
______________
19.若?
f(x)dx?
F(x)?
C,而u?
?
(x),则?
f(u)du?
___________.20设函数f(x)的二阶导数f?
?
(x)连续,那么?
xf?
?
(x)dx?
__________.21设f(x)的原函数是
sinxx
,则?
xf?
(x)dx?
__________.
112
22已知曲线y?
f(x)上任一点的切线斜率为3x2?
3x?
6,且x?
?
1时,y?
则f(x)?
__________;f(x)的极小值是__________.
1?
x
2
是极大值,
23已知一个函数的导数为f(x)?
并且当x?
1时,这个函数值等于
32
?
则这个函
数为F(x)?
__________.24设f?
(sin
2
x)?
cosx(x?
1),则f(x)?
__________.
2
25若f(x)为连续函数,且f?
(x)?
f(x),则?
f(x)dx?
__________.26若(?
f(x)dx)?
?
lnx,则f(x)?
__________.27已知e28
?
x
2
是f(x)的一个原函数,则?
f(tanx)secxdx?
__________.
2
2?
f()dx?
__________.2
xx
1?
x
29设f(x)dx?
?
C,则f(x)?
__________.
1?
x
?
1
?
30在积分曲线族?
二、选择填空题1.设I?
1xx
dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?
__________.
?
x
e?
1e?
1
x
x
,则I?
()
(1?
e)?
C(1?
e)?
x?
C?
2ln(1?
e)?
C(e?
1)?
C
2.设f(x)是连续的偶函数,则期原函数F(x)一定是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有一个是奇函数
x
x
x
3.设I1?
?
1?
xdx,I2?
?
du,则存在函数u?
u(x),使()
x(1?
xex
)
u(1?
u)
?
I2?
x?
I2?
x?
?
I1?
I14.当n?
?
1时,?
xn
lnxdx?
()n
n?
1
n
(lnx?
1n
)?
CB.
x
n?
1(lnx?
1n?
1
)?
C
n?
1
?
1
x
n?
1
x
n(lnx?
1n?
1
)?
CD.
n?
1
lnx?
C
7.?
(cosx2
?
sin
x2
)dx?
()
(sinx?
cos
x)?
C(cos
xx2
2
2?
sin
2)?
C
?
cosx
xx22?
C
?
sin2?
C
8.?
x?
sinx
1?
cosx
dx?
()
?
?
2cotx?
?
C
9.若f(x)的导函数是e?
x
?
cosx,则f(x)的一个原函数为()
?
x
?
cosxB.?
e
?
x
?
sinxC.?
e?
x
?
?
x
?
sinx
10.若f(x)是以l为周期的连续函数,则其原函数()。
A.是以l为周期的函数B.是周期函数,但周期不是lC.不是周期函数D.不一定是周期函数
12.已知函数y?
3x2
的一条积分曲线过(1,1)点,则其积分曲线的方程为()?
x3
?
x3
?
?
x3
?
2?
x3
?
C13.?
xf?
?
(x)dx?
()‘(x)?
?
f(x)dx‘(x)?
f’(x)?
C
’(x)?
f(x)?
C(x)?
xf’(x)?
C14.sin2x的原函数是()
12
cos2xC.?
cos
2
xD.
12
sin2x
15.若f’(x)为连续函数,则?
f’(2x)dx?
()(2x)?
(x)?
CC.
12
f(2x)?
(2x)?
C
16.一个函数的原函数如果有的话有.
(A)一个;(B)两个;(C)无穷多个;(D)都不对.
17.若?
f(x)dx?
F(x)?
C,且x?
at?
b,则?
f(t)dt?
.(A)F(x)?
c;(B)F(t)?
c;(C)
1a
F(at?
b)?
C;(D)F(at?
b)?
C.
18.设f(x)为可导函数,则.(A)
?
f(x)dx?
f(x);(B)
?
f?
(x)dx?
f(x);f(x)?
C.
(C)(
?
f(x)dx)?
?
f(x);(D)(
?
f(x)dx)?
?
19.若u,v都是x的可微函数,则?
udv?
.(A)uv?
(C)uv?
?
vdu;(B)uv?
?
u?
vdu;?
v?
du;(D)uv?
?
uv?
du.
?
x
2
20.已知f(x)的一个原函数是e(A)?
2xe(C)e
?
x
2
,求?
xf?
(x)dx?
.
?
2xe
2
?
x
2?
x
2
?
C;(B)
2
;f(x)dx..
(?
2x?
1)?
C;(D)xf(x)?
?
21.已知曲线上任意点的二阶导数y6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?
3y?
6,则这条曲线的方程为.
(A)y?
x?
2x?
2;(B)3x?
2x?
3y?
6?
0;(C)y?
x;(D)以上都不对.
33
3
22.若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?
(x)?
.(A)?
1x
2
;(B)
1x
;(C)ln(2x);(D)x?
ln2x.
23.若?
df(x)?
?
dg(x),则下列各式中不成立的是.
(A)f(x)?
g(x);(B)f?
(x)?
g?
(x);(C)df(x)?
dg(x);(D)d
?
f?
(x)dx?
d?
g?
(x)dx.
24.若f?
(x2)?
1x
(x?
0),则f(x)?
.
1x
(A)2x?
C;(B)lnx?
C;(C)2x?
C;(D)
f?
(lnx)x
?
C
25.若f(x)?
e?
2x,则?
(A)
1x
2
dx?
.
?
C;(B)?
1x
2
?
C;(C)?
lnx?
C;(D)lnx?
C.
?
x
26.设?
f(x)dx?
F(x)?
C,则?
e(A)F(e)?
C;(B)F(e
x
f(e
?
x
)dx?
.
?
x
)?
C;(C)
F(ex
?
x
)
?
C;(D)?
F(e
?
x
)?
C.
27.设sinx是f(x)的一个原函数,则?
xf(x)dx?
.
(A)xsinx?
cosx?
C;(B)xsinx?
cosx?
C;(C)xcosx?
sinx?
C;(D)xcosx?
sinx?
C.
28.设f(x)?
cosx,则f(x)在区间是可积的.
(A)(?
?
?
?
);(B)[0,?
?
);(C)[?
?
?
];(D)[?
1,0.
29.在计算积分?
x
2?
xdx时,为使被积函数有理化,可做变换().
(A)x?
sint;(B)x?
tant;
(C)x?
sect;(D)t?
3
?
x.
30.
?
x
2x
2
?
2x?
5
dx?
?
(x?
1)
2x?
2?
2
2
?
4
dx?
.
x?
1x?
122
?
c;(B)lnx?
2x?
5?
arcta?
c;(A)lnx?
2x?
5?
2arcta22x?
11x?
122
?
c;(D)lnx?
2x?
5?
arcta?
c.(C)lnx?
2x?
5?
2arcta424
三、计算题
1.求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x))处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5).2.求下列不定积分:
篇二:
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
第二十二章曲面积分
一、证明题
1.证明:
由曲面S所包围的立体V的体积等于
V=
余弦.
2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?
n,L?
ds=0
S1?
xcos?
?
ycos?
?
zcosr?
ds其中cos?
cos?
cpsr3S为曲面S的外法线方向
其中n为曲面S的外法线方向.
3.证明公式
Vdxdydzr=1cos?
r,n?
ds2S
其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.r=x2?
y2?
z2,r=(x,y,z).
4.证明:
场A=?
yz?
2x?
y?
z?
zs?
x?
2y?
z?
xy?
x?
y?
2z?
?
是有势场并求其势函数.
二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:
(1)x?
y?
z?
ds,其中S为上半球面
S
2222x?
y?
z=az?
0;
(2)x
S2?
y2?
ds,其中S为主体x?
y22?
z?
1的边界曲面;
(3)?
?
S1x?
y22ds,其中S为柱面x2?
y2?
R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;
(4)?
?
xyzds
S,其中S为平面在第一卦限中的部分.
2.计算?
?
zds,其中S为圆锥表面的一部分.
S2
?
x?
rcos?
sin?
?
0?
r?
a?
S:
?
y?
rsin?
sin?
D:
?
02z?
rcos?
?
这里θ为常数(01,y>0,z>0)的2
15.设流速A=?
?
y,x,c?
(c为常数)求环流量
(1)沿圆周x?
y=1,z=0;
2
(2)沿圆周?
x?
2?
?
y=1,z=0.222
三、考研复习题
?
u
?
x221.证明:
若?
u=+?
u?
y22+?
u?
z22,S为包围区域V的同面的外例,则
(1)udxdydz=VS?
u?
nds;
(2)u
S?
u?
nds=udxdydz+u?
?
udxdydzVV
2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明:
?
u
?
x?
w?
x
(1)WVdxdydz=uwdydz?
SVudxdydz;
(2)W?
?
udxdydz=WVS?
u?
ndsuV?
?
Wdxdydz.
3.设A=r
r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有
Ads
S=π,4π.
4.证明公式:
f?
msin?
cos?
?
nsin?
sin?
?
Pcos?
?
sin?
d?
d?
D
=2?
?
fum?
u?
p?
11?
222?
du
篇三:
(华师大二版)课本上的习题6
习题
1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?
,使f?
(?
)?
0:
1?
?
xsin
(1)f(x)?
?
x
?
?
0
解
(1)因为f在[0,理,(0,
0?
x?
x?
0
1
?
,
(2)f(x)?
|x|?
1?
x?
1
1
1
?
]连续,在([0,
?
1
)可导,且f(0)?
f(),所以由Rolle定
?
1
?
),使得f?
(?
)?
0。
?
1x?
0
,且f?
(0)不存在,故不存在一点?
,使f?
(?
)?
0
?
1x?
0?
3
(2)因为f?
(x)?
?
2.证明:
(1)方程x?
3x?
c?
0(这里c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;
32
证明设f(x)?
x?
3x?
c,由于方程f?
(x)?
3x?
3?
0在(0,1)内没有根,所以
(由,例1)方程x?
3x?
c?
0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。
(2)方程x?
px?
q?
0(n为正整数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。
证明设f(x)?
x?
px?
q,于是f?
(x)?
nx奇数,故方程f?
(x)?
nx
n
n?
1n
n?
1
n
3
?
p?
0。
当n为偶数时,n-1为
?
p?
0至多有一个实根(因为幂函数nxn?
1?
p严格递增),
从而方程x?
px?
q?
0至多有两个实根;
当n为奇数时,n-1为偶数,故由上述证明的关于偶数的结论有:
方程
nf?
(x)?
nxn?
1?
p?
0至多有两个实根,从而方程x?
px?
q?
0当n为奇数时至多有三
个实根。
3.证明:
若函数f和g均在区间I上可导,且f?
(x)?
g?
(x),x?
I,则在区间I上
f和g只相差一常数,即f(x)?
g(x)?
c(c为某一常数)
证明令F(x)?
f(x)?
g(x),则F在区间I上可导,且F?
(x)?
f?
(x)?
g?
(x)?
0,由推论1,存在常数c,使得F(x)?
c,即f(x)?
g(x)?
c
4.证明
(1)若函数f在[a,b]上可导,且f?
(x)?
m,则f(b)?
f(a)?
m(b?
a)
(2)若函数f在[a,b]上可导,且|f?
(x)|?
M,则|f(b)?
f(a)|?
M(b?
a)(3)对任意实数x1,x2,都有|sinx1?
sinx2|?
|x2?
x1|
证明因为f在[a,b]上可导,所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件,于是(a,b),使得f(b)?
f(a)?
f?
(?
)(b?
a)
(1)因为f?
(x)?
m,所以f(b)?
f(a)?
f?
(?
)(b?
a)?
m(b?
a),从而有
f(b)?
f(a)?
m(b?
a)
(2)因为|f?
(x)|?
M,所以|f(b)?
f(a)|?
|f?
(?
)|?
|b?
a|?
M(b?
a)(3)不妨设x1?
x2,正弦函数f(x)?
sinx在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)可导,于是(a,b),使得|sinx1?
sinx2|?
|cos?
|?
|x1?
x2|?
|x2?
x1|
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
(1)
b?
abb?
a
,其中0?
a?
b?
ln?
baa
证明设f(x)?
lnx,则f在[a,b]上连续且可导,所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件,于是(a,b),使得ln
b1
?
lnb?
lna?
f?
(?
)(b?
a)?
(b?
a),a?
因为0?
ab,所以
b?
ab?
ab?
ab?
abb?
a,从而ln?
b?
abaa
h2
?
arctanh?
h,其中h?
0
(2)2
1?
h
证明设f(x)?
arctanx,则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件,于是
(0,h),使得arctanh?
arctanh?
arctan0?
f?
(?
)(h?
0)?
h
。
因为2
1?
?
h2hh
?
?
h,从而?
arctanh?
h。
0h,所以2
1?
h21?
?
21?
h
6.确定下列函数的单调区间:
(1)f(x)?
3x?
x
(2)f(x)?
2x?
lnx
2
2
x2?
1
(3)f(x)?
2x?
x(4)f(x)?
x
2
解
(1)f?
(x)?
3?
2x,令f?
(x)?
0,得x?
当x?
32
33
时,f?
(x)?
0,f递增;当x?
时,f?
(x)?
0,f递减。
22
14x2?
11
(2)f的定义域为x?
0。
f?
(x)?
4x?
?
,令f?
(x)?
0,得x?
xx2
当0?
x?
11
时,f?
(x)?
0,f递减;当x?
时,f?
(x)?
0,f递增。
22
1?
x2x?
x
2
(3)f的定义域为0?
x?
2。
f?
(x)?
,令f?
(x)?
0,得x?
1
当0?
x?
1时,f?
(x)?
0,f递增;当1?
x?
2时,f?
(x)?
0,f递减。
1x2?
1
?
0,故f在其定义域(4)f的定义域为x?
0。
f?
(x)?
1?
2?
2
xx(?
?
0)?
(0,?
?
)递增。
7.应用函数的单调性证明下列不等式:
x3?
(1)tanx?
x?
,x?
(0,)
33
x3
证明设f(x)?
tanx?
x?
,则f在x?
0连续,且f(0)?
0。
因为
3f?
(x)?
sec2x?
1?
x2?
tan2x?
x2?
0,x?
(0,
?
3
),故f在(0,
?
3
)严格单调递
x3?
增,又因f在x?
0连续,于是f(x)?
f(0)?
0,从而tanx?
x?
,x?
(0,)。
33
(2)
2x
?
?
sinx?
x,x?
(0,2x
?
2
)
2sinxsnix2?
?
。
设f(x)?
则f在x?
?
sinx,?
,
?
?
xx?
2?
xcosx?
sinx(x?
tanx)cosx?
连续,且f()?
0。
因为f?
(x)?
,?
?
0x?
(0,)。
22
22xx?
?
sinx2?
所以f在(0,)严格单调递减,于是f(x)?
f()?
0,从而?
,x?
(0,)。
22x?
2
证明先证
其次证明:
sinx?
x。
设f(x)?
x?
sinx,则f在x?
0连续,且f(0)?
0。
因为
f?
(x)?
1?
cosx?
0,x?
(0,
?
2
)。
所以f在(0,
?
2
)严格单调递增,又因f在x?
0连
续,于是f(x)?
f(0)?
0,从而x?
sinx,x?
(0,
?
2
)。
x2x2
?
ln(1?
x)?
x?
(3)x?
,x?
022(1?
x)
x2x2
?
ln(1?
x),x?
0。
?
nl(1?
x),证明先证:
x?
令f(x)?
x?
则f在x?
0221?
x2
?
?
0,x?
0。
所以f在x?
0严格连续,且f(0)?
0。
因为f?
(x)?
1?
x?
1?
x1?
xx2
?
ln(1?
x),x?
0。
单调递减,又因f在x?
0连续,于是f(x)?
f(0)?
0,从而x?
2
x2x2
?
ln(1?
x),则其次证明:
ln(1?
x)?
x?
,x?
0。
令f(x)?
x?
2(1?
x)2(1?
x)
2x?
x21x2
0,x?
0。
且f(0)?
0。
因为f?
(x)?
1?
f在x?
0连续,
2(1?
x)21?
x(1?
x)2
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