高等数学一元微积分0266第二类换元积分法根式代换.docx
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高等数学一元微积分0266第二类换元积分法根式代换
第二类换元积分法
——根式代换
如何计算:
1
1
x
dx
分析:
将x有理化
dx2tdt
2
解:
令xtxt
原式=
1
2
2tdt
1t
t
t
1
dt
2
(t1)1
t1
dt
1
21dt
t1
将t回代
2(tlnt1)C
2[xln(x1)]C
定理:
设
x'(t)0,f[(t)]'(t)
(t)又有原函数,
是单调可导,且
则
fxdxfttdtFtCFxC
()[()]'()
1
其中1(x)x(t)的反函数
是
这种方法称为第二类换元积分法
第二类换元积分法:
根式代换
令tnaxb
例题
例1求
1
1
3
x
dx
解:
令3xt
dx3t2dt
xt
3
原式=
1
1
t
2
3tdt
3
(t1)12
2
t1
dt
1
3t1dt
1t
2
t
3(tlnt1)C
2
32
x
3(xlnx1)C
33
2
例题
例2求
x
x
1
dx
令x1t
解:
dx2tdt
xt
21
2
t
2dt
原式=
1t
2
1
21
2
1t
dt
2
(t1)1
2
dt
t12
2
2(tarctant)C
2(x1arctanx1)C
小结
1.当积分中被开方式含有一次函数时,可以使用根式代换
消除根号;
2.积分过程中,注意结合其他积分方法求解。
谢谢!
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- 高等数学 一元 微积分 0266 第二 类换元 积分 根式 代换
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