人教版高中数学必修一 第一章 122 函数的表示法1.docx
- 文档编号:9310312
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:186.98KB
人教版高中数学必修一 第一章 122 函数的表示法1.docx
《人教版高中数学必修一 第一章 122 函数的表示法1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学必修一 第一章 122 函数的表示法1.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
人教版高中数学必修一第一章122函数的表示法1
人教版高中数学必修一第一章1.2.2 函数的表示法
(1)
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法:
解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
知识点 函数的三种表示方法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
思考
(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点?
(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗?
答
(1)三种表示方法的优、缺点比较:
优点
缺点
解析法
①简明、全面地概括了变量间的关系;②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
一般只能表示部分自变量的函数值
图象法
直观、形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大
(2)不一定.
并不是所有的函数都可以用解析式表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.
题型一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
解
(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,如图
(1)所示.
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图
(2)所示.
反思与感悟 1.作函数图象主要有三步:
列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
跟踪训练1 画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x2-2x(x>1,或x<-1).
解
(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图
(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图
(2).
题型二 列表法表示函数
例2 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g
(1))的值为________;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
答案 1 2
解析 ∵g
(1)=3,∴f(g
(1))=f(3)=1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
反思与感悟 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解,应从内到外逐层解决,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决.
跟踪训练2 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g
(1)]=__________;
(2)若g[f(x)]=2,则x=__________.
答案
(1)1
(2)1
解析
(1)由表知g
(1)=3,∴f[g
(1)]=f(3)=1;
(2)由表知g
(2)=2,又g[f(x)]=2,得f(x)=2,
再由表知x=1.
题型三 待定系数法求函数解析式
例3
(1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解
(1)∵f(x)是一次函数,
∴设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又∵f[f(x)]=4x-1,
∴a2x+ab+b=4x-1,
即解得或
∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
(2)∵f(x)是二次函数,
∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1,得c=1,
由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x.
左边展开整理得2ax+(a+b)=2x,
由恒等式原理知解得
∴f(x)=x2-x+1.
反思与感悟 1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数,通常设f(x)=kx+b(k≠0);若为反比例函数,通常设为f(x)=(k≠0);若为二次函数,则解析式有以下三种:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标;(3)顶点式y=a(x+)2+(a≠0),其中顶点坐标为(-,).解题时需依据条件灵活选用.
跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f
(1)=2,f
(2)=5,求该二次函数的解析式.
解 设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得
解得故f(x)=x2+1.
题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式
例4 求下列函数的解析式:
(1)已知f=+,求f(x);
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x).
解
(1)方法一 (换元法)令t==+1,
则t≠1.把x=代入f=+,得
f(t)=+=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
∴所求函数的解析式为
f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).
方法二 (配凑法)∵f=+=2-=2-+1,
∴f(x)=x2-x+1.
又∵=+1≠1,
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
(2)方法一 (换元法)令+1=t(t≥1),
则x=(t-1)2,
∴f(t)=(t-1)2+2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二 (配凑法)∵x+2=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1.
又∵+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
反思与感悟 1.换元法的应用:
当不知函数类型求函数解析式时,一般可采用换元法.所谓换元法,即将“+1”换成另一个字母“t”,然后从中解出x与t的关系,再代入原式中求出关于“t”的函数关系式,即为所求函数解析式,但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况.
2.配凑法的应用:
对于配凑法,通过观察与分析,将右端的式子“x+2”变成含有“+1”的表达式.这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求.
跟踪训练4 已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)=________.
答案 x2-4x+3
解析 方法一 (换元法)令x+1=t,则x=t-1,可得f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
方法二 (配凑法)因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x+1)2-4(x+1)+3,
所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,
即f(x)=x2-4x+3.
忽略函数的定义域致误
例5 已知f(-1)=2x+,求f(x).
错解 令t=-1,则x=(t+1)2,
所以f(t)=2(t+1)2+(t+1)=2t2+5t+3,
所以f(x)=2x2+5x+3.
正解 令t=-1,则t≥-1,x=(t+1)2,
所以f(t)=2(t+1)2+(t+1)=2t2+5t+3,
所以f(x)=2x2+5x+3(x≥-1).
易错警示
错误原因
纠错心得
忽略t=-1中t的取值范围,导致解析式不正确.
对于函数问题,不可忽视定义域,否则就容易导致失误.
跟踪训练5 已知f(1+)=-1,求f(x).
解 令t=1+(x≠0),则x=(t≠1),
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t(t≠1),
所以f(x)=x2-2x(x≠1).
1.已知f(x+2)=6x+5,则f(x)等于( )
A.18x+17B.6x+5
C.6x-7D.6x-5
答案 C
解析 设x+2=t,得x=t-2,
∴f(t)=6(t-2)+5=6t-7,
∴f(x)=6x-7,故选C.
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 由题意,知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始时匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C.
3.已知函数f(x)由下表给出,则f(f(3))=________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
答案 1
解析 由题设给出的表知f(3)=4,则f(f(3))=f(4)=1.故填1.
4.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)的解析式为_______.
答案 f(x)=2x+7
解析 设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,
所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7.
5.已知f(x)为二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的表达式.
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=c=0,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)
=ax2+(2a+b)x+a+b,
f(x)+x+1=ax2+bx+x+1=ax2+(b+1)x+1.
又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴∴
∴f(x)=x2+x.
1.函数三种表示法的优缺点
2.描点法画函数图象的步骤:
(1)求函数定义域;
(2)化简解析式;(3)列表;(4)描点;(5)连线.
3.求函数解析式常用的方法有
(1)待定系数法;
(2)换元法;(3)配凑法;(4)消元法等.
一、选择题
1.已知f(x)是一次函数,2f
(2)-3f
(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于( )
A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3
答案 B
解析 设f(x)=kx+b(k≠0),
∵2f
(2)-3f
(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
∴∴
∴f(x)=3x-2.
2.已知f(x-1)=x2,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+2x+1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=x2+2x-1
D.f(x)=x2-2x-1
答案 A
解析 令x-1=t,则x=t+1,
∴f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,
∴f(x)=x2+2x+1.
3.已知f(1-2x)=,则f()的值为( )
A.4B.C.16D.
答案 C
解析 根据题意知1-2x=,解得x=,故=16.
4.函数f(x)=x+的图象是( )
答案 C
解析 f(x)=
5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
答案 B
解析 由图象知,当0≤x≤1时,y=x;
当1 6.设f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),且g(f(x))=x2-x+1,则a的值为( ) A.1B.-1 C.1或-1D.1或-2 答案 B 解析 因为g(x)=(x2+3), 所以g(f(x))=[(2x+a)2+3] =(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1, 求得a=-1.故选B. 二、填空题 7.已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为________________. 答案 f(x)=2x+或f(x)=-2x-8 解析 设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b=4x+8. 所以 解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. 8.函数y=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域是________. 答案 [2,11) 解析 画出函数的图象,如图所示, 观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2),f(5)),即函数的值域是[2,11). 9.若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f (2)=________. 答案 解析 令x=2,得2f (2)+f=, 令x=,得2f+f (2)=, 消去f,得f (2)=. 10.如图,函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=____. 答案 2 三、解答题 11.作出下列函数的图象,并求出其值域. (1)y=x2+2x,x∈[-2,2]; (2)y=|x+1|. 解 (1)y=x2+2x=(x+1)2-1,x∈[-2,2]. 列表如下: x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 作出函数图象如图 (1)所示,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2的部分,可得函数的值域是[-1,8]. (2)当x+1≥0,即x≥-1时,y=x+1; 当x+1<0,即x<-1时,y=-x-1. ∴y= 作该分段函数的图象如图 (2)所示, 可得函数的值域是[0,+∞). 12. (1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式. 解 (1)设f(x)=ax+b(a≠0), 则2f(x+3)-f(x-2) =2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b] =2ax+6a+2b-ax+2a-b =ax+8a+b =2x+21, 所以a=2,b=5, 所以f(x)=2x+5. (2)因为f(x)为二次函数, 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1,得c=1. 又因为f(x-1)-f(x)=4x, 所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x, 整理,得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2, 所以f(x)=-2x2-2x+1. 13.求下列函数的解析式: (1)已知f=x2++1,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式. 解 (1)∵f=2+2+1 =2+3. ∴f(x)=x2+3. (2)以-x代替x得: f(-x)+2f(x)=x2-2x. 与f(x)+2f(-x)=x2+2x联立得: f(x)=x2-2x.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教版高中数学必修一 第一章 122 函数的表示法1 人教版 高中数学 必修 函数 表示