企业养老金制度改革的数学模型国一_精品文档.doc
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企业养老金制度改革的数学模型
摘要
本文主要通过研究山东省企业养老保险金的相关问题,从而进一步研究了我国处于过渡期中企业养老金制度改革问题。
问题一:
工资增长应与国家经济的增长相关,针对预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资,则建立时间序列下的“经济阻滞增长模型”(logistic模型),并利用MATLAB软件进行非线性拟合,预测得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二:
考虑到企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可看作职工缴费指数的参考值,利用题中附件3和已知条件,利用统计学中“组中值”的相关定义计算得出了个年龄阶段的缴费指数的参考值,并通过二次拟合得出了60~65岁缴费指数。
建立了各种情况下养老金替代率的数学模型,通过计算,得出问题二中六种情况下的养老金替代率。
问题三:
通过对问题中三种情况分析,建立了不同情况下计算缺口值的数学模型,利用MATLAB计算出了三种情况在75岁死亡的缺口值。
再根据三种情况下,其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时,该职工的年龄分别为74岁、78岁、84岁。
问题四:
为了达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡,综合各种措施分别从定性、定量的角度进行分析。
提出了三种有效措施:
1、增大职工的缴费年限;2、延长职工的退休年龄;3、适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例。
本文在建立时间序列下的经济阻滞增长模型的基础上,求出了不同情况下的养老保险金的替代率和缺口值。
通过对各种因素进行分析,提出既要达到目标替代率,又要维持养老保险基金收支平衡的有效措施,较好的解决了企业养老金改革的相关问题。
关键词:
阻滞增长模型替代率收支平衡养老保险金
一、问题重述
养老金也称退休金,是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格,以货币形式支付的保险待遇,用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业把职工工资总额按一定比例(20%)作为基础养老金,再把职工个人工资按一定比例(8%)缴纳到个人账户。
退休后,按职工在职期间每月(或年)的缴费工资与社会平均工资之比(缴费指数),再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素,然后基础养老金加上个人账户养老金作为退休后每个月的养老金。
养老金会随着社会平均工资的调整而调整。
如果职工死亡,基础养老金不退给职工而个人账户中的余额可继承。
个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息,利率统一设定为3%。
影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
按照国家对基本养老保险制度的总体思路,未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低,退休职工的生活水准低,养老保险基金收支平衡容易维持;替代率较高,退休职工的生活水准就高,养老保险基金收支平衡较难维持,可能出现缺口。
所谓缺口,是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
附件1是山东省职工历年平均工资数据;附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况,附件3是养老金的计算办法。
请建立数学模型,解决如下问题:
问题一:
对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设,并参考附件1,预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二:
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值,考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险,一直缴费到退休(55岁,60岁,65岁),计算各种情况下的养老金替代率。
问题三:
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险,一直缴费到退休(55岁,60岁,65岁),并从退休后一直领取养老金,至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况,并计算该职工领取养老金到多少岁时,其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四:
如果既要达到目标替代率,又要维持养老保险基金收支平衡,你认为可以采取什么措施。
请给出你的理由。
二、模型假设
1、假设在2010~2035年山东省的经济不会出现较大的震荡,并维持相对稳定。
2、假设在问题2中各范围的工资部分相对稳定。
3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时缴纳,不会出现中断。
4、假设在2011~2035年,山东省养老制度基本不变。
5、假设以2009年为参照水平,各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变。
6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息。
7、假设养老保险金不存在隐性债务危机。
三、符号说明
取分别表示对应年
表示按阻滞增长第年省平均工资
表示第个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比,且
表示第个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比,且
表示替代率,且
表示退休时的养老金
表示基础养老金
表示个人帐户养老金
表示退休前的工资
其他参数,文中另作说明
四、模型的建立与求解
4.1问题一
4.1.1问题的分析
从1978年开始,中国步入改革开放的新时代。
在相关政策的实施下,中国的经济处于蓬勃的发展。
问题一要求预测2011年到2035年山东省职工的年平均工资,而工资的增长由于经济增长相关。
所以,在预测2011年到2035年的职工年平均工资,就必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设。
首先,应该对附件一的数据进行分析,画出经济增长的散点图。
根据工资增长的趋势,进行函数拟合。
然后,在对拟合出的函数进行检验,检验其是否符合经济变化的趋势。
如果不符合经济增长的规律,就必须对拟合的函数进行改进,直到拟合出的工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合。
那么通过拟合出的函数预测2011年到2035年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势。
最后,还要用拟合的函数算出1978年到2010年的年平均工资,与已知数据对比,进行拟合度检验。
4.1.2模型一的分析与建立
由题目附件一给出的山东省1978年到2010年职工年平均工资数据作出如下表格(表一):
表一山东省职工历年平均工资统计表
年份
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
平均
工资
566
632
745
755
769
789
985
1110
1313
年份
1987
1988
1989
1900
1991
1992
1993
1994
1995
平均
工资
1428
1782
1920
2150
2292
2601
3149
4338
5145
年份
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2000
2002
2003
平均
工资
5809
6241
6854
7656
8772
10007
11374
12567
14332
年份
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
平均
工资
16614
19228
22844
26404
29688
32074
16614
根据以上表格中的数据利用MATLAB数学软件画出年份与平均工资的散点图:
图1
由图1可以观察,职工年平均工资呈指数型增长,因此建立如下拟合函数
(1)
4.1.3模型的求解
将
(1)式进行线性化处理,等式两边同时取对数,得
令则该方程变为
利用MATLAB求解模型可得出,从而
则年份与平均工资的关系为:
(2)
由
(1)、
(2)式可以可以绘制出原图形与拟合图像:
图2
观察上图可以看出,模型拟合度比较好,在1978年到2010年间,用指数函数拟合的年平均工资与已知的年平均工资非常逼近。
但是,模型一存在着如下不足:
当年份时,职工年平均工资。
这明显与实际情况不相符,经济不可能达到无限增长。
此模型还存在不足,因此,模型还有待改善。
4.1.5模型一的改进
基于模型一的不足,考虑到人口老龄化而导致劳动力减弱,农村劳动力转移城镇等多种可能情况对经济增长的影响,借助“人口阻滞模型”的相关规律,在经济增长的规律中,经济不可能无限增长。
那么,可以认为在经济增长的过程中,也存在着类似“阻滞模型”变化的规律。
仍引用表一的数据,借助“人口阻滞模型”类似的可以得到如下“经济阻滞模型”
(3)
其中,表示职工年平均工资可能取到的最大值;为1978年的职工年平均工资;为经济自然增长率;(分别表示年)。
元,年,利用MATLAB进行非线性拟合,编写程序(附录一)计算得出:
,
则函数表达式为:
(4)
用非线性拟合出图形为:
图3
由图3可以看出,此模型拟合度较高,随着时间的增加在某一点将会出现“拐点”;之后,年平均工资增长将会趋于相对稳定。
而由公式(4)可知,随年份时,职工年平均工资将会最终趋于稳定。
这也和市场经济的客观规律相吻合,还符合中国经济发展的要求。
因为,在21世纪中叶中国的人均国民生产总值将会达到中等发到国家的水平,经济发展将会变缓。
由图3观察,“拐点”将出现在在二十一世纪中叶。
所以“经济阻滞增长”模型符合客观实际。
预测出年山东省平均工资(表二):
表二年山东省平均工资
年份
2011
2012
2013
2014
2015
年平均工资
35654.27
39904.18
44571.90
49677.16
55235.58
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年平均工资
61257.40
67746.28
74698.05
82099.66
89928.35
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年平均工资
98151.12
106724.68
115595.91
124702.80
133976.01
年份
2026
2027
2028
2029
2030
年平均工资
143340.82
152719.49
162033.84
171207.79
180169.86
年份
2031
2032
2033
2034
2035
年平均工资
188855.24
197207.52
205179.86
212735.62
219848.44
4.2问题二
4.2.1问题的分析
问题二需要解决的问题是养老金替代率,即是指劳动者退休时的养老金领取水平与退休前工资收入水平之间的比率。
它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的基本指标之一。
从题目以及附件三中的相关信息可得:
故由上述关系式可建立数学模型计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险,一直缴费到退休(55岁,60岁,65岁)为止的养老金替代率。
由于附表二中所给数据有限,未能找到2009年岁这一年龄阶段的职工工资范围,因此,首先需要根据2009年其他年龄段的平均工资拟合得出岁这一年龄阶段的职工平均工资。
再根据该企业各个年龄阶段的平均工资与山东省社会职工的平均工资之比以及该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比(缴费指数的参考值),综合可求解问题中六种情况的“替代率”。
4.2.2模
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