高考江苏版文数学一轮复习讲义 第6章 第30课 平面向量基本定理及坐标表示.docx
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高考江苏版文数学一轮复习讲义第6章第30课平面向量基本定理及坐标表示
第30课平面向量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
平面向量的坐标表示
√
1.平面向量基本定理
(1)定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:
不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),
||=.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)在△ABC中,设=a,=b,则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|=________.
[因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|==.]
3.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=________.
(-7,-4) [=(3,2)-(0,1)=(3,1),
=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).]
4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.
-6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,
∴-2m-4×3=0,∴m=-6.]
5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
(1,5) [设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),
即解得]
平面向量基本定理及其应用
如图301,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.【导学号:
62172161】
图301
[解] ∵=-=a-b,
==a-b,
∴=+=a+b.
∵=a+b,
∴=+=+
==a+b,
∴=-=a+b-a-b=a-b.
综上,=a+b,=a+b,=a-b.
[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.
2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算,在解题时,注意方程思想的运用.如解答本题
(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ,μ的方程组.
[变式训练1]
(1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是________.(填序号)
①e1与e1+e2;
②e1-2e2与e1+2e2;
③e1+e2与e1-e2;
④e1+3e2与6e2+2e1.
(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.
(1)④
(2) [
(1)①中,设e1+e2=λe1,则无解;
②中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;
③中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;
④中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.
(2)选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,
又=λ+μ=+,
于是得解得
所以λ+μ=.]
平面向量的坐标运算
已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.【导学号:
62172162】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)设O为坐标原点.∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20).
又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
[规律方法] 1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解.
2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.
[变式训练2] (2017·苏州模拟)设向量=(5+cosθ,4+sinθ),=(2,0),则||的取值范围是________.
[4,6] [=-=(-3-cosθ,-4-sinθ).
∴||==
=(其中tanφ=).
∴≤||≤,即||∈[4,6].]
平面向量共线的坐标表示
(1)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=________.
(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
(1)-3
(2)(2,4) [
(1)由题意可知a+b=(2,1+m),
∵a∥(a+b),
∴2+(m+1)=0⇒m=-3.
(2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,
∴=2.设点D的坐标为(x,y),
则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y).
=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),
即(4-x,2-y)=(2,-2),
∴解得
故点D的坐标为(2,4).]
[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;
(2)若a∥b(a≠0),则b=λa.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例求解.
[变式训练3]
(1)已知向量a=(1-sinθ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.
(2)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.
(1)
(2)k≠1 [
(1)由a∥b,得(1-sinθ)(1+sinθ)=,
所以cos2θ=,
所以cosθ=或-,又θ为锐角,所以θ=.
(2)若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.
因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.]
[思想与方法]
1.平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理,是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础,用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a=λ1e1+λ2e2的形式.
2.利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线,也可以由平行求点的坐标或参数值.
3.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
[易错与防范]
1.在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=a,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y).但表示形式与意义不同,如点A(x,y),向量a==(x,y),向量坐标中既有大小信息又有方向信息.
2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形致误.
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.
课时分层训练(三十)
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、填空题
1.如图302,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:
图302
①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________.(填序号)
①③ [①中,不共线;③中,不共线.]
2.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于________.(用a,b表示)【导学号:
62172163】
a-b [设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
∴∴∴c=a-b.]
3.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为______.
-3 [∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
∴∴∴m-n=2-5=-3.]
4.(2017·苏州模拟)设x∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),且a+2b=(5,-3),则x+y=________.
-1 [∵a=(x,1),b=(2,y),
∴a+2b=(x+4,1+2y),
∴即
∴x+y=-1.]
5.(2017·南京模拟)已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m的值为________.
2 [∵a=(1,2),b=(m,4),
∴2a+b=(2+m,8).
又a∥(2a+b),故8=4+2m,即m=2.]
6.(2017·无锡期中)如图303,在△ABC中,==,若=λ+μ,则λ+μ=________.
图303
[∵==,
∴=,=.
∴=-=-=(+)-
=-+=+
又=λ+μ,∴λ=μ=.
∴λ+μ=.]
7.如图304,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示).
图304
b-a b-a a-b [=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.]
8.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=________.
(-6,21) [∵Q是AC的中点,
∴=(+),
∴=2-=(2,10)-(4,3)
=(-2,7).
又=2=(-4,14),
∴=+=(-4,14)+(-2,7)=(-6,21).]
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