届高三第四次模拟考试数学理试题及答案.docx
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届高三第四次模拟考试数学理试题及答案
2015届高三第四次模拟考试
数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,设集合,集合则=()
2.已知复数,则复数在复平面内对应的点为()
3.若,且,,,则大小关系为()
4.下列说法正确的是()
命题“若,则”的否命题为真命题
“直线与直线互相垂直”的充分条件是“”
命题“”的否定是“”
命题:
若,则或的逆否命题为:
若或,则
5.设为随机变量,若,当时,
的值为()
3579
6.执行如图所示的程序框图,若输出,则框图中①处可以填入()
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()
124
8.将函数的图象向右平移个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,所得新图象的函数解析式是()
9.设,若三点共线,则的最小值是()
10.已知数列为等比数列,且,则的值为()
11.如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形,则双曲线的离心率为()
4
12.定义在上的函数满足下列两个条件:
(1)对任意的恒有成立;
(2)当时,.记函数,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积为
14.已知均为单位向量,且它们的夹角为60°,当取最小值时,
15.在平面直角坐标系中,实数满足,若,则的取值范围是
16.若关于的函数的最大值为,最小值为,且,则实数的值为
三、解答题:
本大题共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17.数列满足:
(1)记,求证数列是等比数列
(2)求数列的通项公式;
18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球,用右手从乙袋中取球,
(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若一次在同一袋中取出两球,如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。
某人第一次左手先取两球,第二次右手再取两球,记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
19.如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面内的射影恰好是的中点,且.
(1)求证:
平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,
求斜三棱柱的侧棱的长度.
20.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点为(0,),且离心率等于,过点(0,2)的直线与椭圆相交于,不同两点,点在线段上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设,试求的取值范围.
21.设函数,其中。
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)当时,求函数的极值点
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式都成立。
考生在题(22)(23)(24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,
过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆
的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC
相交于点P.
(1)求证:
AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;
23.选修4-4:
极坐标与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是=1,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为为参数)。
(1)写出直线与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的最小值。
24.选修4—5:
不等式选讲
已知为正实数,且满足
(1)求的最小值
(2)求证:
理科数学答案:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
B
D
C
B
D
A
C
B
D
13、14、15、16、1
17、
(1)
(2)
18.解:
(1)设事件为“两手所取的球不同色”,则
(2)依题意,的可能取值为0,1,2.
左手所取的两球颜色相同的概率为
右手所取的两球颜色相同的概率为
X
0
1
2
P
所以X的分布列为:
19.解:
(本小题满分12分)
(1)取中点,连接,则面,
,
(2)以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴,建立空间直角坐标系……5分
,设则
即
设面法向量;面法向量
20、解:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
因为它的一个顶点为(0,),所以,由离心率等于,得,解得,所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)设,,,若直线与轴重合,则,得,得;
若直线与轴不重合,则设直线的方程为,与椭圆方程联立消去得,得①,②,
由得,整理得,将①②代入得,又点在直线上,所以,
于是有,因此,由得
,所以,综上所述,有
21、解(Ⅰ)当,函数在定义域(-1,+∞)上单调递增。
(Ⅱ)当时,解=0得两个不同解
当b<0时,
∴,
此时在上有唯一的极小值点
当时,
在都大于0,在上小于0,
此时有一个极大值点和一个极小值点
综上可知,
时,有一个极大值点和一个极小值点
b<0,时,在(-1,+∞)上有唯一的极小值点
(Ⅲ)当b=-1时,
令上恒正
∴在上单调递增,当x∈(0,+∞)时,恒有
即当x∈(0,+∞)时,有,
对任意正整数n,取
22
(1)证明:
连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E。
∴AD∥EC
(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,∴xy=12,①
∵AD∥EC,∴②,由①②可得,或(舍去)∴DE=9+x+y=16,
∵AD是⊙O2的切线,∴AD2=DBDE=9×16,∴AD=12。
23解:
(1)
(2)代入C得
设椭圆的参数方程为参数)
则则的最小值为-4。
24
(1)当时,的最小值为
(2)
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