第一章 微分学.docx
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第一章微分学
第一章微分学
第一节.数
数就是数学面对的基本对象。
我们从熟悉数开始。
什么就是数?
我们现在来构造它。
定义:
数轴就是一条规定了起点、方向与单位长度的直线。
起点称为0点,方向向右,单位长度称为1。
如图:
11
于就是,以0点为圆心,以1的长度为半径向右画弧,可得弧与直线的交点,记为1点。
又以1点为心,1的长度为半径再画弧得交点,记为2点。
如此下去,记为n点。
于就是,我们在数轴上得到了无限多个点的集合N,称此为自然数集。
这个集合根据构造,有如下特点:
(1),这就是最基本的元素,就是对事物质的规定。
(2),称此为归纳原理。
这就是对事物量的发展。
问题来了,这些数N如何表示?
它们有什么性质?
这就是中国古代关于大数的表示:
元代著名数学家朱世杰在她的经典著作《算学启蒙》“大数之类”一段中记载:
“凡数之大者,天莫能盖,地莫能载,其数不能极,故谓之大数也。
”“一,十,百,千,万,十万,百万,千万,万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京,万万京曰陔,万万陔曰秭,万万秭曰壤,万万壤曰沟,万万沟曰涧,万万涧曰正,万万正曰载,万万载曰极,万万极曰恒河沙,万万恒河沙曰阿僧祗,万万阿僧祗曰那由她,万万那由她曰不可思议,万万不可思议曰无量数。
”
先说集合,它比数更基本。
集合就是不定义名词,就是关注对象全体的抽象。
抽象表达的形式就是符号。
符号就就是一些表意的图形。
集合尽管就是符号,但对它的内涵还就是有要求的。
我们说给定集合A指的就是:
中元素的规定。
(注意,集合仅就是规定它的元素,没有构造的意思。
)
规定必须做到:
(1)A与非A可识别
(2)A内元素可区别
(3)A中元素就是不可分割的最小单位
(4)A自己不能作为A中的元素
前3个要求就是自然的,为什么要加入第4个要求?
罗素悖论:
若集合放松第4个要求,那么,把一切集合分成A,B两类,
与。
问属于哪一类?
若则与的定义矛盾,若,则,这又与的定义矛盾。
所以,集合本身不能属于自己。
否则,会造成逻辑上层次的混淆。
注:
把单个元素也可以瞧成就是一个集合,与有层次上的差别,。
集合有全集、子集与空集,有基本的运算:
并、交与取余,运算有交换律、结合律与分
配律成立,等等性质。
这里就不再详细展开。
·自然数集合的十进制表示:
令集合就是一些符号,称其为阿拉伯数字。
(注:
据考证此符号最早来源于古印度。
)
我们用它来表示同类项中量的多少的规定。
把所谓“数数”叫做加法。
用符号“+”表示。
(加法符号的由来查XX网,很方便。
)
加法就是人类文明跨入抽象思维的第一步,在人对物的质的规定认识清楚后,加法就是量的关系中最简单最直观的运算。
其本质就是同类东西的合并——“合并同类项”。
它与集合的并就是有本质区别的,。
这里的7不就是所具有的东西。
这就是加法带来的内涵。
定义:
对自然数集N(就就是前面数轴上构造的那些点。
)规定十进制加法表示如下:
,,,,,,,
,,,。
(逢十进一)
由此规定,,当,那么,,其中,。
并称为自然数集A的十进制表示。
显然,由加法的定义得出,,,,即交换律与结合律成立,等等。
加法的几何意义从数轴上瞧就是明显的。
以点为圆心,的长度为半径画弧得到的交点。
结论:
自然数集N就是一个有加法运算结构的特殊集合。
注:
自然数集除了我们熟知的十进制表示,还可有二进制表示。
故它的表示就是不唯一的。
不管几进制,运算封闭,有零元,有单位元,交换律与结合律成立就是本质的。
自然数集的扩张:
可以按构造自然数集的规则中把向右画弧改成向左,(另一种规则!
)所得交点的全体集合记成。
由此得,任何一个N中的点都有一个中对称的点与之对应,称它为的负元。
把它们合并,,称为整数集。
我们把再自然数集中的加法的概念推广到整数集中,规定:
。
这样,的对称点就就是,所以,。
所以,,即负负得正。
这就是我们第一次通过规定得到的逻辑结果。
为什么要这样做?
从逻辑的角度,我们常常会面对加法的反问题:
。
这种在整数集中未知元的求解问题就可以由此来定义加法的逆运算——减法。
注意,,所以,仅在自然数集N中,求未知数加某一已知数使得等于另一已知数的运算就是不封闭的。
此外,所谓减法运算与负元的加法就是一个问题的两个方面,从物理上瞧,加号就是规定物体向右运动,减号就是物体向左运动。
我们瞧到,反问题可以加深我们对概念理解。
进一步,在整数集合中,如果遇到多个相同元素相加,即“连加”。
可以再定义一种新的运算——乘法。
(这仅仅就是乘法的一种含义!
)且规定。
如:
它的含义就是“提取公因子”,它可以简化加法运算。
由定义知,
,,等等运算性质。
整数集有了加法与乘法运算,内容就丰富多了,最有意思的问题就就是整数的因子分解。
如至今还没有解决的问题——哥德巴赫猜想:
任何一个合数可以写成二个素数之与。
注:
乘法还有复合运算的含义,它比“提取公因式”的内涵深刻得多。
可以证明,整数中关于乘法运算仍就是封闭的。
但就是关于乘法的逆运算——除法,即反问题:
?
的求解问题,在中又不行了。
我们又需要把整数集扩张。
规定:
。
称为的逆元,记。
含义就是分割。
即将1分成等分中的一份,在数轴上点的位置可以通过等分单位线段得到。
它们就是在数轴上生成的一些新的点集。
定义:
含有0与1两个元素,且对所有关于加法与乘法及其它们的逆运算(减与除)都封闭的点的集合称为有理数集,记成。
根据有理数集的构造,有形式:
我们把这样的数称为分数或称有理数。
(其实称分割数或比例数更合适,几何意义更明显。
但我们必须尊重历史,不能改变历史。
)
根据有理数的可分性,有理数集有一个重要性质就就是,它在数轴上就是处处稠密的。
即任意两个有理数中间一定有另一个有理数。
问题来了,就是不就是所有理数集充满了整个数轴?
请瞧数与的作图,如图:
斜边的长就是所有有理数平方小于2的一个上界。
这个长度就是无法通过有限次分割得到。
可以证明,数轴上有无穷多的点就是无法通过有限次“等分分割”得到的。
但就是可以感觉到,我们能用“等分分割”得到的点不断去接近这些点。
这就就是利用了有理数集在数轴上的稠密性。
我们可以找到一个有理数列与该点无限接近。
于就是,我们为“无限接近”引入一个重要的基本概念——数列的极限。
请瞧如下数列:
那么有:
,
。
所以,我们可以构造一个有理数序列,使得它可以无限逼近数。
采用这种无限逼近的方法,数轴上每一个点,我们可以用分割得到的点来得到。
这个事实很重要,我们把这一事实归纳陈述如下:
一个数列就就是数轴上可以与自然数集一一对应的点的集合。
这样的数列可以有无限多,我们可以把所有这样的的数列分成两类,一类就是能无限接近某点的数列,记成,如,,等等。
另一类就是不能无限接近某点的数列,如,,等等。
把所有与第一类中有理数列无限接近的点扩张到数集中:
称其为实数集。
且不就是有理数的实数称为无理数。
可见无理数就是无限不循环小数。
实数集与数轴就是一一对应的。
即任何实数对应数轴上唯一一个点,且数轴上任意点有唯一的实数与该点对应。
这就是一个很重要的假定,数学上称为连续统假设。
也称为实数集的完备性。
我们还可以把改写成其她的极限运算的符号形式:
与极限加上无穷小的形式。
称为无穷小,就就是无限接近0的任意数列。
极限的严格专业术语陈述为:
。
(不去管它!
)
由此,我们可得出无穷小的性质:
无穷小的加、减、乘运算就是封闭的,且无穷小乘任意有限数仍为无穷小。
(为什么除不行?
)
由此,可得出极限运算有性质:
如果,,那么,,
。
即极限也可以方便的做加减乘除运算,并且在实数集上运算就是封闭的。
并且幂运算、指数运算、对数运算、三角运算都就是封闭的。
利用极限的运算性质,可以方便的求得实数数列的极限。
但我们需要保证数列有极限才能做四则运算,没有极限的数列,极限的加减乘除运算性质就是不一定成立的。
具体举例:
例如,,,,。
例1、
例2、
例3、充分性判断:
(1);
(2)。
有一类数列极限的存在性就是通过分析得出来的,我们有二个重要定理。
定理一:
,且,则。
称其为夹逼定理。
定理二:
数列单调、有界,则。
也称单调有界有极限。
两个重要极限:
(1)
证明:
我们证明数列单调递增、有界,故有极限存在。
因为,
。
所以,有界。
又因为,
。
所以,单调递增。
这个极限就是个无理数,把它记成。
由于对任意正实数,有使得,再由单调增性,
再由夹逼定理,我们有极限公式:
。
又因为,
。
所以,不论向左还就是向右趋于正负无穷,都有成立。
这就是在网上下载的一个关于这个极限的有趣故事:
最终经现场70余人投票,王尊(吉林大学汽车工程学院)凭借她别出心裁的以数学公式为切入点的作品荣获冠军。
(2),此意味对任意趋于0的实数列,都有成立。
证明:
因为当,有。
从图形上瞧这就是明显的。
由,,
再由,,倒过来,不等式反号,,
所以,,因为,再由夹逼定理,
最后得,。
又因为当,。
所以,不论从左还就是从右边趋于零极限公式都成立。
这两个重要极限我们后面要用到。
数的概念、运算、性质与极限的概念就讲这些,我们有些练习要做,只要求理解。
关键就是要掌握数列极限的概念。
下面讲数与数之间的关系,为此我们要引入重要的基本概念——函数。
第二节.函数
函数我们在高中就学过了。
这就是我们后面要面对的基本对象。
这里我们换一种直观几何的叙述方式。
首先,利用数轴建立直角坐标系。
1.直角坐标
把两个数轴在0点垂直相交就建立了一个平面上的直角坐标系。
如图:
YP
0X
这样,平面上的任何一点P就与它的坐标——二元数组建立了一一对应关系。
这种点与数的关系的建立,瞧似简单,有了坐标,它把许多几何上的直观概念用方程的形式联系起来了。
数与形的关系就得到了统一。
平面上点集合的一些基本概念:
图形:
平面上任意点的子集。
曲线与方程:
曲线就是平面上点的轨迹,方程就是含未知数的等式。
在直角坐标系上,曲线与方程可以建立一个对应关系,曲线可用方程表示,也可用参数方程,表示。
如,直线:
。
单位圆:
或,。
抛物线:
。
等等。
所以,在有了直角坐标系之下,曲线就就是方程,方程也就是曲线。
代数与几何可以方便的联系在一起。
根据曲线的直观特点,我们把曲线又分成:
有间断点的曲线,称为分段曲线;
没有间断的曲线,称为连续曲线;
没有“尖点”的曲线,称为光滑曲线。
如,就是分段曲线,就是有尖点的曲线,就是光滑的闭合曲线,就是有尖点的闭合曲线,等等。
以上的内容很重要,从图形上来理解函数,会很方便。
如果我们对平面上的曲线进行适当的分割,只关注其中的某一特殊线段,我们就可以定义一类重要的曲线——函数。
它的严格表述如下。
函数:
如果,存在唯一的与之对应。
记成。
注意,函数有三个关键点:
(1)定义域,自变量的取值范围。
它就是可以自主限定的。
(2)值域,因变量的取值范围。
它就是受对应规则限制的,故它就是派生的。
(3)对应规则,这里关键就是对应就是存在唯一的。
例1:
单位圆:
就不就是一个函数关系,但加上限制,,上半圆。
或,下半圆,都在区间上确定了一个函数关系。
例2:
狄利克雷函数:
当就是无理数;当就是有理数。
虽然该函数不就是一条完整意义上的曲线,且无法画出它的图像,但根据定义,它就是一个函数。
例3:
;,。
这也定义了一个函数,特点就是在0点无限震荡。
如果把函数放到直角坐标系上去瞧,几何直观上瞧,函数就就是一段可以有“波浪”,可以有“断点”,“尖点”,但就是“不能回头”的曲线。
我们在高中已经熟悉了许多基本的初等函数及其图像:
1.一次函数:
图像就是一条直线,其中就是斜率,就是截距。
2.二次函数:
图像就是一条抛物线。
开口向上;反之,向下。
3.多项式函
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