第一课时 子集.docx
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第一课时子集
1.2 子集、全集、补集
第一课时 子集
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系,并能进行转换,重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
新知探究
草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B.
问题
(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的?
(2)集合A与集合B又存在什么关系?
提示
(1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)A是B的子集.
1.子集、真子集
(1)如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A.读作:
“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
(2)如果A⊆B,并且A≠B.那么集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
2.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集,即A⊆A.
(2)空集是任意一个集合A的子集,即∅⊆A.
(3)对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C.
(4)对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC.
3.用维恩图表示非空集合的基本关系
(1)A⊆B表示为:
或
(2)AB表示为:
(3)A=B表示为:
拓展深化
[微判断]
1.1⊆{1,2,3}.(×)
提示 “⊆”表示集合与集合之间的关系,而不是元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.(×)
提示 空集只有子集,没有真子集.
3.若a∈A,则{a}A.(×)
提示 也有可能{a}=A.
4.若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(√)
[微训练]
1.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.
解析 ∵B⊆A,∴元素3,4必为A中元素,∴m=4.
答案 4
2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=________,b=________.
解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1.
答案 -1 0
3.若{1,2}⊆B⊆{1,2,4},则B=________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2,故B可能是{1,2}或{1,2,4}.
答案 {1,2}或{1,2,4}
[微思考]
1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合?
提示 A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=∅,则A中不包含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素,而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么?
提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系;而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.
3.集合A中有n(n∈N*)个元素,则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少?
提示 ①由n个元素组成的集合有2n个子集;
②由n个元素组成的集合有(2n-1)个真子集;
③由n个元素组成的集合有(2n-1)个非空子集;
④由n个元素组成的集合有(2n-2)个非空真子集.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1 (4)M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}. 解 (1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB. (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知AB. (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM. 规律方法 判断集合关系的方法 (1)观察法: 一一列举观察. (2)元素特征法: 首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法: 利用数轴或Venn图. 【训练1】 (1)设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为( ) A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P (2)设集合A={0,1},集合B={x|x<2或x>3},则A与B的关系为( ) A.A∈BB.B∈A C.A⊆BD.B⊆A 解析 (1)正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,故选B. (2)∵0<2,∴0∈B. 又∵1<2,∴1∈B.∴A⊆B. 答案 (1)B (2)C 题型二 集合的子集、真子集 【例2】 (1)集合{a,b,c}的所有子集为________________,其中它的真子集有________个. 解析 集合{a,b,c}的子集有: ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中,除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个. 答案 ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 7 (2)写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. 解 由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为: {0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}. 规律方法 1.假设集合A中含有n个元素,则有: (1)A的子集有2n个; (2)A的非空子集有(2n-1)个; (3)A的真子集有(2n-1)个; (4)A的非空真子集有(2n-2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写; (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【训练2】 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A的子集有: ∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 题型三 子集关系的应用 【例3】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若BA,求实数m的取值范围. 解 (1)当B≠∅时,如图所示. ∴或 解这两个不等式组得2≤m≤3. (2)当B=∅时, 由m+1>2m-1,得m<2. 综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}. 【迁移1】 (变换条件)若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2 解 (1)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2. (2)当B≠∅时,如图所示. ∴解得 即2≤m<3, 综上可得,m的取值范围是{m|m<3}. 【迁移2】 (变换条件)若本例条件“BA”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围. 解 当A⊆B时,如图所示,此时B≠∅. ∴即 ∴m∈∅,即m的取值范围为∅. 规律方法 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心点表示. (2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题,一定要分A=∅和A≠∅两种情况讨论,不要忽视空集的情况. 【训练3】 已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若AB,求a的取值范围; (2)若B⊆A,求a的取值范围. 解 (1)若AB,由图可知a>2. (2)若B⊆A,由图可知1≤a≤2. 一、素养落地 1.通过自然语言、图形语言、符号语言表示集合间的基本关系,提升数学抽象素养和直观想象素养. 2.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A⊆B的常用方法. (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=∅时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A,B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. 二、素养训练 1.已知集合A={-1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有( ) A.2个B.4个 C.6个D.8个 解析 根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},故选B. 答案 B 2.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=BB.A⊆B C.ABD.BA 解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴A≠B.又1∈A且1∉B,∴B是A的真子集,故选D. 答案 D 3.设集合A={x|1 解析 画出数轴可得a≥2. 答案 {a|a≥2} 4.我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N,Z,Q,R表示,用符号表示N,Z,Q,R的关系为____________. 答案 NZQR 5.已知集合M={x|x=a2+1,a∈N},集合P={y|y=b2+2b+2,b∈N},试判断M与P的关系,并说明理由. 解 PM.理由如下: 设y∈P,且y=b2+2b+2=(b+1)2+1.∵b∈N,∴b+1∈N+,∴y∈M,故P⊆M. 当a=0时,x=1,∴1∈M. ∵b∈N,∴y=b2+2b+2=(b+1)2+1≥2,∴1∉P. 由P⊆M,1∈M,且1∉P,知PM. 基础达标 一、选择题 1.已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为( ) A.5B.6 C.7D.8 解析 集合N的真子集有: ∅,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共7个. 答案 C 2.已知集合A={x|x2-1=0},则下列式子: ①{1}∈A;②-1⊆A;③∅⊆A;④{1,-1}⊆A.其中表示正确的有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析 因为A={x|x2-1=0}={-1,1},所以{1}⊆A,①不正确;-1∈A,②不正确; ∅⊆A,符合子集的定义,所以③正确; {-1,1}⊆A,符合子集的定义,所以④正确. 综上可知,正确的式子有2个. 答案 B 3.已知集合A={x|-1 A.A∈BB.AB C.BAD.B⊆A 解析 由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有AB. 答案 B 4.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2 C.3D.4 解析 由题意知: A={1,2},B={1,2,3,4},又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 答案 D 5.已知集合A={x∈Z|(x-1)(x+2)<0},则集合A的一个真子集为( ) A.{x|
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