向量的极化恒等式与等和线的应用学生版Word下载.docx
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例3.(2013浙江理7)在
中,
是边
上一定点,满足
,且对于边
上任一点
,恒有
。
则()
A.
B.
C.
D.
例4.(2017全国2理科12)已知
是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小是()
A.
B.
D.
课后检测
1.在
中,
若
,
在线段
上运动,
的最小值为
2.已知
是圆
的直径,
长为2,
上异于
的一点,
所在平面上任意一点,则
的最小值为____________
3.在
,若
是
所在平面内一点,且
,则
的最大值为
4.若点
和点
分别是双曲线
的中心和左焦点,点
为双曲线右支上任意一点则
的取值范围是.
5.在
,已知点
内一点,则
的最小
值是.
6.已知
是单位圆上的两点,
为圆心,且
的一条直径,点
在圆内,且满足
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
7.正
边长等于
,点
在其外接圆上运动,则
A.
B.
C.
8.在锐角
中,已知
的取值范围是.
9.
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中,研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
(一)平面向量共线定理
已知
三点共线;
反之亦然
(二)等和线
平面内一组基底
及任一向量
,若点
在直线
上或者在平行于
的直线上,则
(定值),反之也成立,我们把直线
以及与直线
平行的直线称为等和线。
(1)当等和线恰为直线
时,
;
(2)当等和线在
点和直线
之间时,
(3)当直线
在点
和等和线之间时,
(4)当等和线过
点时,
(5)若两等和线关于
点对称,则定值
互为相反数;
【解题步骤及说明】
1、确定等值线为1的线;
2、平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;
3、从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值;
说明:
平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着少数服从多数的原则,优先平移固定的向量;
若需要研究的两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量
和
,它们的夹角
为
,如图所示,点
在以
为圆心的圆弧
上变动。
,其中
的最大值
是__________。
跟踪练习:
已知
的外心,若
的最大值为_______
例2、在平面直角坐标系中,
为坐标原点,两定点
满足
,则点集
所表示的区域面积为__________________.
例3、如图,在扇形
为弧
上不与
重合的一个动点,
存在最大值,则
的取值范围为__________.
在正方形
中点,
为以
为直径的半圆弧上任意一点,
设
的最小值为_____________.
【强化训练】
1、在正六边形
是三角形
内(包括边界)的动点,设
的取值范围__________.
2、如图,在平行四边形
边的三等份点,
的交点,
为边
上的一动点,
内一点(含边界),若
的取值范围__________.
3、设
分别是
的边
上的点,
(
为实数),则
的值为_____________.
4、梯形
为三角形
内一点(包括边界),
5、已知
在
内,且
,设
的值为____________.
6、在正方形
为圆心,
为半径的圆弧上的任意一点,设
7、已知
为实数)。
为直角顶点的直角三角形,则
取值的集合为_______
8、平面内有三个向量
夹角为
的夹角为
,且
的值为____________________。
9、如图,
上的三点,
的延长线与线段
的延长线交于圆
外的点
的取值范围为___________。
10、已知
=________.
11、已知
是两个互相垂直的单位向量,且
,则对任意的正实数
的最小值为_______________.
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