完整版高中数学典型例题解析平面向量与空间向量Word下载.docx
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记作-。
5.向量的加法:
求两个向量和的运算。
已知,。
在平面内任取一点,作=,=,则向量叫做与的和。
记作+。
6.向量的减法:
求两个向量差的运算。
在平面内任取一点O,作=,=,则向量叫做与的差。
7.实数与向量的积:
(1)定义:
实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,并规定:
①λ的长度|λ|=|λ|·
||;
②当λ>0时,λ的方向与的方向相同;
当λ<0时,λ的方向与的方向相反;
当λ=0时,λ=
(2)实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,则
①λ(μ)=(λμ)
②(λ+μ)=λ+μ
③λ(+)=λ+λ
8.向量共线的充分条件:
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ。
另外,设=(x1,y1),=(x2,y2),则//x1y2-x2y1=0
9.平面向量基本定理:
如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2使 =λ1+λ2,其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P1,P2是直线l上的两点,点P是不同于P1,P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ,λ叫做分有向线段所成的比。
若点P1、P、P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则有
特别当λ=1,即当点P是线段P1P2的中点时,有
11.平面向量的数量积
已知两个非零向量和,它们的夹角为θ,则数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积),记作·
,即·
=||||cosθ
规定:
零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义:
数量积·
等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。
(3)性质:
设,都是非零向量,是与方向相同的单位向量,θ是与的夹角,则·
=·
=||cosθ ,⊥·
=0
当与同向时,·
=||||
当与反向时,·
=-||||
特别地,·
=||2或||=
cosθ=|·
|≤||||
(4)运算律:
·
(交换律)
(λ)·
=λ(·
)=·
(λ)
(+)·
+·
(5)平面向量垂直的坐标表示的充要条件:
设=(x1,y1),=(x2,y2),则
·
=||·
||cos90°
=0
x1x2+y1y2=0
12.平移公式:
设P(x,y)是图形F上的任意一点,它在平移后图形F/上对应点为P/(x/,y/),且设的坐标为(h,k),则由=+,得:
(x/,y/)=(x,y)+(h,k)
三、经典例题导讲
[例1]和=(3,-4)平行的单位向量是_________;
错解:
因为的模等于5,所以与平行的单位向量就是,即(,-)
错因:
在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解:
因为的模等于5,所以与平行的单位向量是,即(,-)或(-,)
点评:
平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和=(3,-4)垂直的单位向量”,结果也应该是两个。
[例2]已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),若A、B、C是平行四边形的三个顶点,求第四个顶点D的坐标。
设D的坐标为(x,y),则有x-2=-1-3,y-1=4-2,即x=-2,y=3。
故所求D的坐标为(-2,3)。
思维定势。
习惯上,我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。
其实,在这个题目中,根本就没有指出四边形ABCD。
因此,还需要分类讨论。
设D的坐标为(x,y)
当四边形为平行四边形ABCD时,有x-2=-1-3,y-1=4-2,即x=-2,y=3。
解得D的坐标为(-2,3);
当四边形为平行四边形ADBC时,有x-2=3-(-1),y-1=2-4,即x=6,y=-1。
解得D的坐标为(6,-1);
当四边形为平行四边形ABDC时,有x-3=-1-2,y-2=4-1,即x=0,y=5。
解得D的坐标为(0,5)。
故第四个顶点D的坐标为(-2,3)或(6,-1)或(0,5)。
[例3]已知P1(3,2),P2(8,3),若点P在直线P1P2上,且满足|P1P|=2|PP2|,求点P的坐标。
由|P1P|=2|PP2|得,点P分P1P2所成的比为2,代入定比分点坐标公式得P()
对于|P1P|=2|PP2|这个等式,它所包含的不仅是点P为P1,P2的内分点这一种情况,还有点P是P1,P2的外分点。
故须分情况讨论。
当点P为P1,P2的内分点时,P分P1P2所成的比为2,此时解得P();
当点P为P1,P2的外分点时,P分P1P2所成的比为-2,此时解得P(13,4)。
则所求点P的坐标为()或(13,4)。
在运用定比分点坐标公式时,要审清题意,注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4]设向量,,,则“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析:
根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.
解:
若,∵,则,代入坐标得:
,即且.消去,得;
反之,若,则且,即
则,∴
故“”是“”的充要条件.
答案:
C
本题意在巩固向量平行的坐标表示.
[例5].已知=(1,-1),=(-1,3),=(3,5),求实数x、y,使=x+y.
根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可.
由题意有
x+y=x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).
又=(3,5)
∴x-y=3且-x+3y=5
解之得x=7且y=4
在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.
[例6]已知A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C、D和向量的坐标.
待定系数法设定点C、D的坐标,再根据向量,和关系进行坐标运算,用方程思想解之.
设C、D的坐标为、,由题意得
=(),=(3,6),
=(),=(-3,-6)
又=,=-
∴()=(3,6),()=-(-3,-6)
即()=(1,2),()=(1,2)
∴且,且
∴且,且
∴点C、D和向量的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)
小结:
本题涉及到方程思想,对学生运算能力要求较高.
§
8.2平面向量与代数、几何的综合应用
一、疑难知识导析
1.初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。
如当=时,=0,此时有;
2.由于本节内容与代数、几何联系比较紧,故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。
二、知识导学
1.余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即
2.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即
三经典例题导讲
[例1]在ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为( )
A. B. C. D.或
选A
公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”。
∵a2=b2+bc+c2=b2+c2-2bc(-)=b2+c2-2bc·
cos
∴∠A=
选 C.
[例2]在△ABC中,已知,试判别其形状。
等腰三角形。
忽视了两角互补,正弦值也相等的情形。
直接由得,,即,则。
接着下结论,所求三角形为等腰三角形
由得,,即
则或,故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]在中,,其内切圆面积为,求面积。
题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。
由已知,得内切圆半径为2.由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.
[例5]已知定点A(2,1)与定直线:
3x-y+5=0,点B在上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.
分析:
向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带.
解:
设B(x0,y0),M(x,y)
∴=(x-2,y-1),=(x0-x,y0-y),由题知=2
∴
由于3x0-y0+5=0,∴3×
-+5=0
化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0
[例4]在中,试求周长的最大值。
并判断此时三角形的形状。
由于题目中出现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二次函数求最值
其实这种思路从表面上看是可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。
由正弦定理,得a=2()sinA,b=2()sinB.
a+b=2()(sinA+sinB)=4()sincos
sin=sin75o=
a+b=()2cos≤()2=8+4.
当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4+.此时三角形为等腰三角形
[例6]过抛物线:
y2=2px(p>
0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:
直线AB过一定点,并求出这一定点.
对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.
证明:
由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2)∴=(,t1),=(,t2),
∵OA⊥OB,∴•=0•+t1•t2=0
t1•t2=-4p2①
设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t2),=(-,t1-t2),
由于向量与是共线向量,∴(a-)(t1-t2)=(b-t2)(-)
化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)
显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立
∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)
四典型习题导练
1.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x,则第三边x的取值范围是()
A.1<x<5 B.<x<C.<x<5 D.1<x<
2.三顶点,则的面积为___。
3.△ABC中,若边a:
b:
c=:
(1+):
2,则内角A=。
4.某人在C点测得塔顶A在南偏西80°
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