届天津市南开区高三一模理科数学试题及答案Word下载.docx
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i
(2)已知实数x,y满足约束条件
,则目标函数z=x–2y的最小值是().
(A)0(B)–6
(C)–8(D)–12
(3)设A,B为两个不相等的集合,条件p:
x(A∩B),条件q:
x(A∪B),则p是q的().
(A)充分不必要条件(B)充要条件
(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件
(4)已知双曲线ax2–by2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是x–
y=0,它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上,则双曲线的方程为().
(A)4x2–12y2=1(B)4x2–
y2=1
(C)12x2–4y2=1(D)
x2–4y2=1
(5)函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是().
(A)(0,–2](B)[–2,+∞)
(C)(–∞,–2](D)[2,+∞)
(6)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三
视图,则此棱锥的体积为().
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=
,则内角C=().
或
(8)已知函数f(x)=|mx|–|x–n|(0<n<1+m),若关于x的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个,则实数m的取值范围为().
(A)3<m<6(B)1<m<3
(C)0<m<1(D)–1<m<0
南开区2018~2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(一)
答题纸(理工类)
题号
二
三
总分
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
得分
第Ⅱ卷
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;
2.本卷共12小题,共110分.
评卷人
二、填空题:
本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请将答案填在题中横线上。
(9)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列,第2小组的频数为15,则抽取的学生人数为.
(10)已知a>0,(x–
)6的二项展开式中,常数项等于60,则(x–
)6的展开式中各项系数和为(用数字作答).
(11)如果执行如图所示的程序框图,则输出的数S=.
(12)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为:
(为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为:
cos–sin=0,则圆C截直线l所得弦长为.
(13)如图,圆O的割线PAB交圆O于A、B两点,割线PCD经过圆心O.已知PA=AB=2
,PO=8.则BD的长为.
(14)已知正三角形ABC的边长为2,点D,E分别在边AB,AC上,且
=
,
=
.若点F为线段BE的中点,点O为△ADE的重心,则
•
=.
三、解答题:
(本大题共6个小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
(15)(本小题满分13分)
设函数f(x)=cos(2x+
)+2cos2x,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间
上的最小值.
(16)(本小题满分13分)
将编号为1,2,3,4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中,每个小盒至少放一个小球.
(Ⅰ)求编号为1,2的小球同时放到A盒的概率;
(Ⅱ)设随机变量为放入A盒的小球的个数,求的分布列与数学期望.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,
PC⊥底面ABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:
平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P-AC-E的余弦值为
,求直线
PA与平面EAC所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
已知椭圆C:
(a>b>0)与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),F为左焦点,原点O到直线FA的距离为
b.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设b=2,直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,求证:
直线BM与直线AN的交点G在定直线上.
(19)(本小题满分14分)
设数列{an}满足:
a1=1,an+1=3an,n∈N*.设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn–b1=S1•Sn,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=bn•log3an,求数列{cn}的前n项和Tn;
(Ⅲ)证明:
对任意n∈N*且n≥2,有
+…+
<
.
(20)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=
,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0.
其中e=2.71828…为自然对数的底数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)如果当x≠0时,f(2x)<
,求实数k的取值范围.
数学试卷(理工类)参考答案04
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
C
D
B
(9)60;
(10)1;
(11)2500;
(12)2
;
(13)2
(14)0
(其他正确解法请比照给分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=cos(2(x–
)+
)+1=cos(2x–
)+1.…………10分
因为0≤x≤
,
所以–
≤2x–
≤
≤cos(2x–
)≤1,…………12分
因此
)+1≤2,即f(x)的取值范围为[
,2].…………13分
(16)解:
(Ⅰ)设编号为1,2的小球同时放到A盒的概率为P,
P=
=
.…………4分
(Ⅱ)=1,2,…………5分
P(=1)=
P(=2)=
1
2
P
所以的分布列为
…………11分
的数学期望E()=1×
+2×
.…………13分
(17)解:
(Ⅰ)∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC.
∵AB=4,AD=CD=2,∴AC=BC=
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
∵AC⊂平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.…………5分
(Ⅱ)如图,以点C为原点,
分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,–2,0).
设P(0,0,2a)(a>0),则E(1,–1,a),
=(2,2,0),
=(0,0,2a),
=(1,–1,a).
取m=(1,–1,0),则m·
=m·
=0,m为面PAC的法向量.
设n=(x,y,z)为面EAC的法向量,则n·
=n·
=0,
即
,取x=a,y=–a,z=–2,则n=(a,–a,–2),
依题意,|cos<
m,n>
|=
,则a=2.…………10分
于是n=(2,–2,–2),
=(2,2,–4).
设直线PA与平面EAC所成角为,
则sin=|cos<
,n>
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
(18)解:
(Ⅰ)设F的坐标为(–c,0),依题意有bc=
ab,
∴椭圆C的离心率e=
.…………3分
(Ⅱ)若b=2,由(Ⅰ)得a=2
,∴椭圆方程为
.…………5分
联立方程组
化简得:
(2k2+1)x2+16kx+24=0,
由△=32(2k2–3)>0,解得:
k2>
由韦达定理得:
xM+xN=
…①,xMxN=
…②…………7分
设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),
MB方程为:
y=
x–2,……③
NA方程为:
x+2,……④…………9分
由③④解得:
…………11分
=1
即yG=1,
∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上.…………13分
(19)解:
(Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为3,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为an=3n–1.…………2分
∵2bn–b1=S1•Sn,∴当n=1时,2b1–b1=S1•S1,
∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1.…………3分
∴当n>1时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1,
∴{bn}是公比为2,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为bn=2n–1.…………5分
(Ⅱ)cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1,…………6分
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1……①
2Tn=0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n……②
①–②得:
–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n=–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2.…………10分
(Ⅲ)
(1–
)<
.…………14分
(20)解:
(Ⅰ)f(x)=
,………1分
由函数f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为x+
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