最新高三教案高考第一轮复习数学9棱柱Word下载.docx
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,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在
A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部
由AC⊥AB,AC⊥BC1,知AC⊥面ABC1,从而面ABC1⊥面ABC,因此,C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上.
A
3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为
A.
B.
C.
a3D.
a3
D
4.(2018年春季上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.(结果用反三角函数值表示)
取BC的中点D,连结SD、AD,则SD⊥BC,AD⊥BC.
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角,设为α.在平面SAD中,作SO⊥AD与AD交于O,则SO为棱锥的高.
AO=2DO,∴OD=
.
又VS—ABC=
·
AB·
BC·
sin60°
h=1,
∴h=
.∴tanα=
=
∴α=arctan
arctan
5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为__________.
由锥体平行于底面的截面性质知,自上而下三锥体的侧面积之比,S侧1∶S侧2∶S侧3=
1∶4∶9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.
1∶3∶5
●典例剖析
【例1】已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点,求四棱锥C1—B1EDF的体积.
解法一:
连结A1C1、B1D1交于O1,过O1作O1H⊥B1D于H,
∵EF∥A1C1,
∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.
∵平面B1D1D⊥平面B1EDF,
∴O1H⊥平面B1EDF,即O1H为棱锥的高.
∵△B1O1H∽△B1DD1,
∴O1H=
a,
V
S
O1H=
EF·
B1D·
a·
a=
a3.
解法二:
连结EF,设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=
a,∴V
=V
+V
(h1+h2)=
a3.
解法三:
-V
特别提示
求体积常见方法有:
①直接法(公式法);
②分割法;
③补形法.
【例2】如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?
试证明你的结论.
(2)当a=4时,求D点到平面PBC的距离.
(3)当a=4时,求直线PD与平面PBC所成的角.
剖析:
本题主要考查棱锥的性质,直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.
本题主要是在有关的计算中,推理得到所求的问题,因而尽量选择用坐标法计算.
解:
(1)以A为坐标原点,以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,当a=2时,BD⊥AC,又PA⊥BD,故BD⊥平面PAC.故a=2.
(2)当a=4时,D(4,0,0)、C(0,2,0)、C(4,2,0)、P(0,0,2)、
=(0,2,-2),
=(4,0,0).
设平面PBC的法向量为n,则n·
=0,n·
=0,即(x,y,z)·
(0,2,-2)=0,(x,y,z)·
(4,0,0)=0,得x=0,y=z,取y=1,故n=(0,1,1).则D点到平面PBC的距离d=
(3)
=(4,0,2),cos〈
,n〉=
>
0,证〈
,n〉=α,设直线PD与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=sin(
-α)=cosα=
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin
【例3】如图,设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°
,又∠BAC=60°
,且SA⊥BC.
(1)求证:
S—ABC为正三棱锥;
(2)已知SA=a,求S—ABC的全面积.
(1)证明:
正棱锥的定义中,底面是正多边形;
顶点在底面上的射影是底面的中心,两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO,O为垂足,连结AO并延长交BC于D.
因为SA⊥BC,所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等,从而O为△ABC的外心,OD为BC的垂直平分线,所以AB=AC.又∠BAC=60°
,故△ABC为正三角形,且O为其中心.所以S-ABC为正三棱锥.
(2)解:
只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底面边长,则问题易于解决.在Rt△SAO中,由于SA=a,∠SAO=60°
,所以SO=
a,AO=
a.因O为重心,所以AD=
AO=
a,BC=2BD=2ADcot60°
a,OD=
AD=
a.
在Rt△SOD中,SD2=SO2+OD2=(
a)2+(
a)2=
,则SD=
于是,(SS-ABC)全=
(
a)2sin60°
+3·
a2.
深化拓展
(1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosα·
S正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角).就本题cosα=
,S
a2,所以(SS-ABC)侧=
a2÷
a2.于是也可求出全面积.
(2)注意到高SO=
a,底面边长BC=
a是相等的,因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真.
(3)正三棱锥中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年全国Ⅰ,10)已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则
等于
A.
C.
D.
如图所示,正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H,
∴四面体EFGH也是正四面体.
连结AE并延长与CD交于点M,
连结AG并延长与BC交于点N.
∵E、G分别为面的中心,
∴
.∴
又∵MN=
BD,∴
=
∵面积比是相似比的平方,∴
2.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点,设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ,则cos2α+cos2β+cos2γ的值是
A.1B.2C.
D.不确定正
以AP为一条对角线截得小长方体AP,由长方体的对角线长定理可得cos2α+cos2β
+cos2γ=1.
3.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,则M只需满足条件__________时,就有MN⊥AC.
点M与F重合
说明:
本题答案不唯一,当点M在线段FH上时均有MN⊥AC.
4.在三棱锥S—ABC中,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°
,则侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________.
arccos
5.三棱锥一条侧棱长是16cm,和这条棱相对的棱长是18cm,其余四条棱长都是17cm,求棱锥的体积.
如图,取AD的中点E,连结CE、BE,
∵AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE,
∴取BC的中点F,连结EF,EF为BC边上的高,EF=
=12.
∴S
=108.
∵AC=CD=17cm,E为AD的中点,CE⊥AD,同理BE⊥AD,
∴DA⊥平面BCE.
∴三棱锥可分为以底面BCE为底,以AE、DE为高的两个三棱锥.
∴VA-BCD=VA—BCE+VD—BCE=2·
AE=2×
×
108×
8=576(cm3).
6.(2018年春季北京)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2
,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点,EF∩BD=G.
平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离d.
(1)证法一:
连结AC.
∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形,∴AC⊥BD.又AC⊥D1D,∴AC⊥平面BDD1B1.
∵E、F分别为AB、BC的中点,故EF∥AC.
∴EF⊥平面BDD1B1.
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证法二:
∵BE=BF,∠EBD=∠FBD=45°
,
∴EF⊥BD.
又EF⊥D1D,∴EF⊥平面BDD1B1.
(2)在对角面BDD1B1中,作D1H⊥B1G,垂足为H.
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1,且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G,
∴D1H⊥平面B1EF,且垂足为H.
∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.
在Rt△D1HB1中,
D1H=D1B1·
sin∠D1B1H.
∵D1B1=
A1B1=
2
=4,
sin∠D1B1H=sin∠B1GB=
∴d=D1H=4·
∵△D1HB1∽△B1BG,
∴d=D1H=
连结D1G,则△D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半,即
B1G·
D1H=
B1B2,
.
培养能力
7.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1=
BB1,
AB1⊥BC1;
(2)求二面角A—BC1—C的正切值.
如图,取BC的中点M,连结B1M、BC1交于N,则AM⊥面BC1.下证BC1⊥B1M.设BB1=1,则AB1=
,AB=BC=
∴tan∠B1MB=
=tan∠B1BC1.
∴得△B1MB∽△B1BN.
∴∠B1BM=90°
=∠B1NB,即BC1⊥B1M.
∴BC1⊥斜线AB1.
如图,取B1C1和B1B的中点E与D,连结ED,则DE∥BC1.再取AB的中点G,连结DG,则DG∥AB1,
∴∠GDE为异面直线AB1、BC1所成的角.下用勾股定理证明∠GDE为直角.取A1B1的中点F,连结EF、EG、FG,则EG=
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