5升6小学奥数第3讲Word文档下载推荐.docx
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两点间的距离为多少米?
【例3】
【分析】
(法一)画图分析知甲、乙速度比为:
,第四次相遇甲乙共走:
4×
2-1=7(个全程),甲走了:
3×
7=21(份)在
点,第五次相遇甲乙共走:
5×
2-1=9(个全程),甲走了:
9=27(份)在
点,已知
是150米,因此
的长度是150÷
6×
(3+7)=250(米)。
(法二)也有不画图又比较快的方式:
第四次相遇:
(2×
4-1)×
3÷
20余数为1那么在
的位置,第五次相遇:
5-1)×
20余数为7那么在
的位置,
表示速度基数
,
,
(米),即全程
为250米。
【拓展】
(08年首届奥数网杯)电子玩具车
与
在一条轨道的两头同时动身,相向而行。
已知
比
的速度快
,依照推算,第
次相遇点与第
次相遇点相距58厘米,这条轨道长_厘米。
两车速度比为
;
第
次相遇点的位置在:
因此这条轨道长
(厘米)
【例4】如以下图所示,某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。
甲、乙两人别离从两个对角处沿逆时针方向同时动身。
若是甲每分走90米,乙每分走70米,那么通过量少时刻甲才能看到乙?
【分析】当甲看到乙的时候,甲和乙在同一条边上,甲乙两人之间的距离最多有
米长。
当甲、乙之间的距离等于300米时,即甲追上乙一条边(
米)需
(分),
现在甲走了
(条)边,
因此甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙。
可是甲只要再走
条边就能够够看到乙了,即甲从动身走
条边后可看到乙,共需
(分),即
分
秒。
【例5】甲乙两名选手在一条河中进行划船竞赛,赛道是河中央的长方形
,其中
米,
米,已知水流从左到右,速度为每秒1米,甲乙两名选手从
处同时动身,甲沿顺时针方向划行,乙沿逆时针方向划行,已知甲比乙的静水速度每秒快1米,(
边上视为静水),两人第一次相遇在
边上的
点,
,那么在竞赛开始的5分钟内,两人一共相遇几回?
(5次)
【分析】设乙的速度为
米/秒,那么可列得方程:
解得:
。
因此甲的速度为
米/秒。
甲游一圈需要
秒,乙游一圈需要
5分钟内,甲游了3圈还多20秒,乙游了2圈还多
多余的时刻不够合游一圈,因此两人合游了5圈。
因此两人共相遇了5次。
【例6】
(2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动)有一种机械人玩具装置,配备长、短不同的两条跑道,其中长跑道长400厘米,短跑道长300厘米,且有200厘米的公用跑道(如以下图)。
机械人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动,机械人乙按顺时针方向以每秒
厘米的速度在短跑道上跑动。
若是甲、乙两个机械人同时从点
动身,那么当两个机械人在跑道上第
迎面相遇时,机械人甲距离起点
点多少厘米?
【分析】第一次在
点相遇,甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。
第二次在
点相遇(要排除甲尚未第二次上长跑道时可能发生的相遇事件),甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。
同理,第三次相遇,甲、乙又共跑了700厘米。
共历时刻
(400+700+700)÷
(6+4)=180(秒),
甲跑了6×
180=1080(厘米),距
点
400×
3—1080=120(厘米)。
注:
处置多次相遇问题时,有一种常见试探方式——分段考虑。
【例7】
(第五届“走进美好的数学花园”决赛)如图,甲、乙两只蜗牛同时从
点动身,甲沿长方形
逆时针爬行,乙沿
逆时针爬行.假设
,且两只蜗牛的速度相同,那么当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时,它们所爬过的路程的和为多少?
【分析】很显然,在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线,若是两只蜗牛同时处于一条对角线的两头,那么这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条因此也应该分为两种情形:
情形一;
甲在
点,乙在
点,这种情形下乙走了整数圈,甲走了假设干圈又一条短边,一条长边,设乙走了
圈,甲已走了
圈.那么能够列出不定方程:
化简为
,由于等式右边是24的倍数,因此x至少应该取12,现在
,两只蜗牛共走了816。
情形二:
点,这种情形下乙走了假设干圈又20,甲走了假设干圈又10,设两只蜗牛别离行走了
圈和
圈,那么能够列出不定方程:
是方程的最小解,现在
,两只蜗牛一共行走了788.
显然情形二最先发生,因此当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时,它们所爬过的路程的和为788。
事实上两只蜗牛在走过情形二以后各走了14,就变成了情形一的情形,若是在讨论两种情形之前就想到这一点,就能够够少讨论一种情形了。
【例8】一个圆周长
厘米,
个点把那个圆周分成三等分,
只爬虫
别离在这
个点上。
它们同时动身,按顺时针方向沿着圆周爬行,速度别离是
厘米/秒、
厘米/秒,
只爬虫动身后多少时刻第一次抵达同一名置?
(法一)先来详细讨论一下:
⑴先考虑
这两只爬虫,何时能抵达同一名置。
开始时,他们相差
厘米,每秒钟
能追上
的路程为5-3=2(厘米);
(秒)
因此,
秒后
抵达同一名置.以后再要抵达同一名置,
要追上
一圈,也确实是追上
厘米,需要
(秒)。
抵达同一名置,动身后的秒数是
⑵再看看
何时抵达同一名置。
第一次是动身后
(秒),
以后再要抵达同一名置是
追上
一圈,需要
……
对照两行列出的秒数,就明白动身后
秒3只爬虫抵达同一名置。
(法二)此题的数学模型,实际上是一个数
被
除余
,那个数
除余6。
设两个商别离为
和
,那么可取得等量关系式
,整理取得
是知足条件的最小自然数组。
因此
只爬虫动身后60秒多少时刻第一次抵达同一名置。
【例9】如图,在长为490米的环形跑道上,
两点之间的跑道长50米,甲、乙两人同时从
两点动身反向奔跑.两人相遇后,乙立刻转身与甲同向奔跑,同时甲把速度提高了25%,乙把速度提高了20%.结果当甲跑到点
时,乙恰好跑到了点
.若是以后甲、乙的速度和方向都不变,那么当甲追上乙时,从一开始算起,甲一共跑了多少米。
【分析】相遇后乙的速度提高20%,跑回
点,即来回路程相同,乙速度转变前后的比为
,因此所花时刻的比为
设甲在相遇时跑了6单位时刻,那么相遇后到跑回
点用了5单位时刻。
设甲原先每单位时刻的速度
,由题意得:
从
点到相遇点路程为
,因此
两人速度转变后,甲的速度为
,乙的速度为
,从相遇点开始,甲追上乙时,甲比乙多行一圈,
∴甲一共跑了490÷
(50-40)×
50+240=2690(米)。
关于环形跑道问题,抓住相遇(或追及的)的路程和(或路程差)恰好都是一圈。
(这是指同地动身的情形,不同地,那么注意两地距离在其中的阻碍)。
另外,此题涉及量化思想,即将比中的每一份看做一个单位,进一步来讲,一个时刻单位乘以一个速度单位,取得一个路程单位。
(法二)设相遇处为
点:
因为甲前后速度比为
,乙前后速度比为
因此,乙前后在
处的时刻比为
也即甲前后两段路程
所用的时刻比也是
那么甲所行
段路程与
段路程之比为
因此,
的路程为
(米),BC的路程为
(米)
因此,在1个单位时刻内的速度为:
甲是
(米);
乙是
(米)。
那么甲追上乙的时刻需要
(单位时刻)
因此,甲一共行全程是
【例10】乌龟和蜗牛赛跑,跑道是周长300厘米的等边三角形。
它们从三角形的同一极点同时动身,乌龟每分钟行50厘米,蜗牛每分钟行46厘米,它们每到三角形的一个极点都要休息1分钟。
动身后多长时刻乌龟追上蜗牛?
【分析】乌龟追上蜗牛有三种情形:
⑴蜗牛在某极点刚休息完,正预备走时,乌龟抵达该极点(追上蜗牛)。
现在,乌龟比蜗牛多走一周,本来应多休息3次,但因为乌龟在最后一个极点尚未休息,而蜗牛已经休息完了,因此乌龟比蜗牛多休息2次。
⑵蜗牛在某极点休息了一会儿,但还没休息完,乌龟抵达该点(追上蜗牛)。
现在,因为蜗牛最后一次还没休息完,因此乌龟比蜗牛多休息2次多,但不足3次。
⑶乌龟在途中追上蜗牛(包括乌龟、蜗牛同时抵达某极点)。
现在,乌龟比蜗牛多休息3次。
这三种情形到底发生哪一种,这要依照乌龟、蜗牛的速度,每条边的长,抵达每一个极点休息的时刻等因素来确信。
假设乌龟比蜗牛恰好多休息2次(即第⑴种情形)。
设乌龟不算休息时刻共行了
分钟,因为蜗牛少休息2次(2分钟),因此蜗牛共行
分钟。
依照乌龟比蜗牛多行1周(300厘米),可得方程,
①
解得
(分)。
因为乌龟2分钟走一条边长,98是2的整数倍,乌龟恰好走到一个极点,因此假设成立(即第⑴种情形成立)。
乌龟休息了
(分),乌龟追上蜗牛共用
什么缘故要先假设第⑴种情形?
而不假设第⑵⑶种情形呢?
事实上,咱们先假设第⑵种情形,解出乌龟行走的时刻t后,要查验行走t分后,乌龟是不是恰好走到一个端点。
若是是,假设成立;
若是不是,假设就不成立。
例如,若是将例题中三角形周长改成330厘米,其它条件不变,那么解得
(分),乌龟共行
(厘米),因为每边长110厘米,5275不是110的整数倍,因此第⑴种情形不成立。
为了说明问题,在例题中咱们再假设乌龟比蜗牛恰好多休息3次(即第⑶种情形)。
类似地,能够取得方程,
②
解得
乌龟走2分钟休息1分钟,
共休息54分钟。
由此得乌龟追上蜗牛共用
咱们查验一下动身后
分钟,乌龟是不是追上蜗牛。
乌龟走了
分钟,共走
(厘米);
蜗牛少休息3次,实际走了
(厘米)。
(厘米),乌龟正比如蜗牛多走一周,乌龟在
边上距
厘米处追上蜗牛。
从查验结果看,通过
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