圆锥曲线与方程章节复习总结.doc
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圆锥曲线与方程章节复习总结
【本讲教育信息】
一.教学内容:
期末复习专题:
圆锥曲线与方程
二.知识分析:
【本章知识网络】
【学法点拨】
圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容.圆锥曲线试题的类型、特点与学习的方法主要归结如下:
1.求动点的轨迹方程问题,从来都是高考的热点,试题有一定的难度,学习时应注意一些求轨迹方程的基本方法。
2.求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,试题一般涉及量较多,计算量大。
要求较强的运算能力.在计算中,首先要明确运算方向,还要注意运算合理,运算的技巧,使运算简练。
3.试题注重对解析几何基本方法的考查,要求会建立适当的直角坐标系,把平面几何问题转化为代数问题。
4.注意用圆锥曲线的定义解题.有关圆锥曲线上的点到焦点的距离,到准线的距离,离心率的问题都可能用到圆锥曲线的定义去解。
5.对称问题是高考的热点,注意关于原点、x轴、y轴,关于直线y=±x对称的两曲线方程的特点。
6.在有关直线与圆锥曲线的问题中,注意韦达定理、弦长公式在解题中的应用。
7.一些试题将解析几何问题与数列问题、极限问题、不等式问题、函数问题综合在一起,对解决数学综合问题的能力要求更高,此时要充分利用解析几何的特点,运用数形结合,用代数的方法解决几何的问题。
【备考建议】
在复习过程中抓住以下几点:
1.在高考命题中,有关圆锥曲线的试题主要考查两大类问题。
一是根据题设条件,求出圆锥曲线的方程;二是通过方程,研究圆锥曲线的性质。
本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键。
2.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习
由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想来设。
3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程的目的,如下列思想和方法:
(1)方程思想;
(2)用好函数思想方法;(3)掌握坐标法;(4)对称思想;(5)参数思想;(6)转化思想。
4.在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算.涉及到原点和焦点距离问题用极坐标的极径表示.关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法.利用引入一个参数表示动点的坐标x、y,间接把它们联系起来,减少变量、未知量采用参数法.有些题目还常用它们与平面几何的关系,利用平面几何知识会化难为易,化繁为简,收到意想不到的解题效果。
第一讲 椭圆
一.椭圆及其标准方程
1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
一般的:
集合,其中,且a、c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集。
2.椭圆的两种标准方程
焦点在x轴上,焦点为;
焦点在y轴上,焦点为。
都有:
(1)a>b>0;
(2)。
二.椭圆的几何性质
方程
范围
对称性
轴对称、中心对称
轴对称、中心对称
顶点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)
离心率
准线方程
【典例分析】
例1.已知椭圆及直线y=x+m。
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。
解:
解方程组消去y,整理得
(2)由韦达定理得
∴弦长L==,当m=0时,L取得最大的值为,此时直线方程为y=x。
点评:
设两曲线交点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的斜率为k,则弦长
或。
例2.若椭圆与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程。
解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),M()。
由 。
点评:
直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出A(xl,yl),B(x2,y2),但不是真的求出xl,yl,x2,y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题,由OA⊥OB得xlx2+yly2=0是解决本题的关键。
例3.如图所示,从椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB∥OM。
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点,求∠F1QF2的取值范围;
(3)设Q是椭圆上一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若△F1PQ的面积为,求此时椭圆的方程。
解:
(1)∵MF1⊥x轴,
∴xM=-c,代入椭圆方程,得,
∵OM∥AB,∴。
从而
(2)设,则
由余弦定理,得:
当且仅当上式成立,
;
(3),设椭圆方程,
又PQ⊥AB,∴,
则PQ的方程为,代入椭圆方程,
得,由弦长公式,得,
而F1到PQ之距为。
。
,,
故所求椭圆的方程为。
第二讲 双曲线
一.双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1,F2()的距离之差的绝对值为定值2a。
(1)当时,P点的轨迹是双曲线。
(2)当时,P点的轨迹是两条射线。
(3)当时,P点不存在。
(4)当a=0时,P点轨迹是线段F1F2的中垂线。
二.双曲线的几何性质
标准方程
图形
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
对称轴
x轴、y轴
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
离心率
渐近线
a、b、c的关系
【典例分析】
例1.求渐近线方程为与,焦点为椭圆的一对顶点的双曲线方程。
解:
(1)当双曲线的焦点为椭圆的长轴顶点,即()与()时,
设双曲线方程为(其中)。
由,得,
,∴所求的双曲线方程为,
(2)当双曲线的焦点为椭圆短轴顶点,即(0,)与(0,)时,
设双曲线方程为(其中),即,
,故所求的双曲线方程为,
综上,所求的双曲线方程为或。
点评:
当已知双曲线的渐近线方程为(或)时,可设双曲线的方程为(或),其中为不等于零的待定常数,以简化运算过程,这里方程称之为双曲线的共渐近线的双曲线系。
例2.设双曲线上两点A、B,AB中点N(1,2)。
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D是否共圆,为什么?
(1)解法一:
显然AB斜率存在,设AB:
y-2=k(x-1),
由得。
当△>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则。
∴直线AB:
y=x+1。
解法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则两式相减得。
,代入满足△>0,
∴直线AB:
y=x+1。
(2)解:
设A、B、C、D共圆于⊙M,因AB为弦,故M在AB垂直平分线即CD上;又CD为弦,故圆心M为CD中点,因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|。
由得A(-1,0),B(3,4)
又CD方程y=-x+3,由得。
设C(x3,y3),D(x4,y4),CD中点M(x0,y0),
则∴M(-3,6)。
,又。
。
∴A、B、C、D在以CD中点,M(-3,6)为圆心,为半径的圆上。
第三讲 抛物线
一.抛物线的定义
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
二.抛物线的标准方程和几何性质
定义
平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹,叫抛物线,即
标准方程
图形
顶点
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
离心率
e=1
e=1
e=1
E=1
x、y取值范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
【典例分析】
例1.A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
(2)求证:
直线AB过定点;
(3)求弦AB中点P的轨迹方程;
(4)求△AOB面积的最小值。
(1)解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0),
。
。
∵。
(2)证明:
。
,
∴直线AB:
。
。
,
,∴AB过定点(2p,0),设M(2p,0)。
(3)
解:
设OA∶y=kx,代入y2=2px得x=0,。
,同理,以代k得。
即,∴中点M的轨迹方程。
(4)解:
当且仅当|y1|=|y2|=2p时,等号成立。
例2.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴。
证明:
直线AC经过原点O。
证法一:
设直线方程为,
又
即k也是直线OA的斜率,∴AC经过原点O。
当k不存在时,AB⊥x轴,同理可得kOA=kOC。
证法二:
连结AC与EF相交于点N,过A作AD⊥l,D为垂足,
∴AD∥EF∥BC,
。
由抛物线的定义可知:
|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,
。
∴O点与N点重合,∵N是AC上的一点,∴AC经过原点O。
点评:
该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行,又可采用圆锥曲线的几何性质,借助平面几何的方法进行推理。
解题思路宽,而且几何方法较之解析法比较快捷便当。
从审题与思维深度上看,几何法的采用,源于思维的深刻。
例3.已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|AB|长为半径画圆,在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点,若P为MN的中点。
(1)求a的取值范围;
(2)求|AM|+|AN|的值;
(3)问是否存在这样的a值,使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列?
解:
(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0)
则,
∴代入y2=4ax(a>0)得。
由得。
(2)∵A为焦点,
∴。
(3)△AMN中,AP为MN边上的中线,由平面几何知识,|AM|+|AN|>2|AP|,
∴不存在实数a,使|AM|,|AP|,|AN|成等差数列。
点评:
(1)根据定义解题,能化难为易;
(2)巧用平面几何和三角知识解题,能简化运算过程,简约思维过程。
第四讲 直线与圆锥曲线
一.直线与圆锥曲线的三种位置关系——相交、相切、相离
直线l方程为,圆锥曲线方程F(x,y)=0。
由
消元(如y)后得。
若F(x,y)=0表示椭圆,则上述方程中a≠0,为此有:
1.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行(或重合);当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。
2.若a≠0,设
(1)△>0时,相交于两点;
(2)△=0时,相切于一点;
(3)△<0时,无公共点。
二.直线与圆锥曲线相交所产生的问题
1.弦长
直线与圆锥曲线相交于A、B,,直线斜率为k。
(1)一般弦长公式:
(2)焦点弦长公式:
可用焦半径公式来表示弦长,简化
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