高中数学 第一章 导数及其应用 16 微积分基本定理学案 新人教A版选修22Word文档格式.docx
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⑥ʃexdx=ex|.
⑦ʃaxdx=(a>
0且a≠1).
⑧ʃdx=(b>
知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗?
答案 当被积函数f(x)≥0恒成立时,定积分与曲边梯形的面积相等,若被积函数f(x)≥0不恒成立,则不相等.
梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S下,则
(1)当曲边梯形在x轴上方时,如图①,则ʃf(x)dx=S上.
(2)当曲边梯形在x轴下方时,如图②,则ʃf(x)dx=-S下.
(3)当曲边梯形在x轴上方,x轴下方均存在时,如图③,则ʃf(x)dx=S上-S下.特别地,若S上=S下,则ʃf(x)dx=0.
1.若F′(x)=f(x),则F(x)唯一.( ×
)
2.微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( √ )
3.应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续函数.( √ )
类型一 求定积分
例1 计算下列定积分.
(1)ʃ(2x+ex)dx;
(2)ʃdx;
(3)
(4)ʃ(x-3)(x-4)dx.
考点 利用微积分基本定理求定积分
题点 利用微积分基本定理求定积分
解
(1)ʃ(2x+ex)dx=(x2+ex)|
=(1+e1)-(0+e0)=e.
(2)ʃdx
=(lnx-3sinx)|
=(ln2-3sin2)-(ln1-3sin1)
=ln2-3sin2+3sin1.
(3)∵2
=1-2sincos=1-sinx,
∴
=-(0+cos0)=-1.
(4)∵(x-3)(x-4)=x2-7x+12,
∴ʃ(x-3)(x-4)dx
=ʃ(x2-7x+12)dx
=
=-0=.
反思与感悟
(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式,便于求得原函数F(x).
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步:
求被积函数f(x)的一个原函数F(x);
第二步:
计算函数的增量F(b)-F(a).
跟踪训练1 计算下列定积分.
(1)ʃdx;
(2);
(3)ʃ(1+)dx.
解
(1)ʃdx
=-
=ln2-.
(2)
=sinx=1.
(3)ʃ(1+)dx
=ʃ(+x)dx=
=-=.
例2
(1)若f(x)=求
(2)计算定积分ʃ|3-2x|dx.
考点 分段函数的定积分
题点 分段函数的定积分
解
(1)=ʃx2dx+
又因为′=x2,(sinx-x)′=cosx-1,
所以原式=+(sinx-x)
=+-(sin0-0)
=-.
(2)ʃ|3-2x|dx
=(3x-x2)+(x2-3x)=.
反思与感悟 分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质,转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算.
跟踪训练2
(1)ʃe|x|dx=________.
答案 2e-2
解析 ʃe|x|dx
=ʃe-xdx+ʃexdx
=-e-x|+ex|
=-e0+e1+e1-e0
=2e-2.
(2)已知f(x)=求ʃf(x)dx.
解 ʃf(x)dx
=ʃ(2x+ex)dx+ʃdx
=(x2+ex)|+
=(1+e)-(0+e0)+-
=e+-ln2.
类型二 利用定积分求参数
例3
(1)已知t>
0,f(x)=2x-1,若ʃf(x)dx=6,则t=________.
(2)已知2≤ʃ(kx+1)dx≤4,则实数k的取值范围为________.
考点 微积分基本定理的应用
题点 利用微积分基本定理求参数
答案
(1)3
(2)
解析
(1)ʃf(x)dx=ʃ(2x-1)dx=t2-t=6,
解得t=3或-2,∵t>
0,∴t=3.
(2)ʃ(kx+1)dx==k+1.
由2≤k+1≤4,得≤k≤2.
引申探究
1.若将例3
(1)中的条件改为ʃf(x)dx=f
,求t.
解 由ʃf(x)dx=ʃ(2x-1)dx=t2-t,
又f
=t-1,∴t2-t=t-1,得t=1.
2.若将例3
(1)中的条件改为ʃf(x)dx=F(t),求F(t)的最小值.
解 F(t)=ʃf(x)dx=t2-t=2-(t>
0),
当t=时,F(t)min=-.
反思与感悟
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
跟踪训练3
(1)已知x∈(0,1],f(x)=ʃ(1-2x+2t)dt,则f(x)的值域是________.
(2)设函数f(x)=ax2+c(a≠0).若ʃf(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________.
答案
(1)[0,2)
(2)
解析
(1)f(x)=ʃ(1-2x+2t)dt
=(t-2xt+t2)|=-2x+2(x∈(0,1]).
∴f(x)的值域为[0,2).
(2)∵ʃf(x)dx=ʃ(ax2+c)dx
==+c.
又f(x0)=ax+c,
∴=ax,即x0=或-.
∵0≤x0≤1,∴x0=.
1.若ʃdx=3+ln2,则a的值是( )
A.5B.4C.3D.2
答案 D
解析 ʃdx=ʃ2xdx+ʃdx
=x2|+lnx|=a2-1+lna=3+ln2,
解得a=2.
2.等于( )
A.-B.-C.D.
解析
=sinθ=.
3.设f(x)=则ʃf(x)dx等于( )
A.B.
C.D.不存在
答案 C
解析 ʃf(x)dx=ʃx2dx+ʃ(2-x)dx=+=.
4.已知函数f(x)=xn+mx的导函数f′(x)=2x+2,则ʃf(-x)dx=________.
题点 微积分基本定理的综合应用
答案
解析 ∵f(x)=xn+mx的导函数f′(x)=2x+2,
∴nxn-1+m=2x+2,解得n=2,m=2,
∴f(x)=x2+2x,则f(-x)=x2-2x,
∴ʃf(-x)dx=ʃ(x2-2x)dx
==9-9-+1=.
5.已知f(x)=计算:
ʃf(x)dx.
取F1(x)=2x2-2πx,则F1′(x)=4x-2π;
取F2(x)=sinx,则F2′(x)=cosx.
所以
=(2x2-2πx)+sinx
=-π2-1,
即ʃf(x)dx=-π2-1.
1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数,要先化简,再求积分.
(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和,而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题
1.ʃdx等于( )
A.e2-ln2B.e2-e-ln2
C.e2+e+ln2D.e2-e+ln2
解析 ʃ=(ex+lnx)|
=(e2+ln2)-(e+ln1)=e2-e+ln2.
2.若=2,则实数a等于( )
A.-1B.1
C.-D.
答案 A
=(-cosx-asinx)
=0-a-(-1-0)=1-a=2,
∴a=-1,故选A.
3.若S1=ʃx2dx,S2=ʃdx,S3=ʃexdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S1<
S2<
S3B.S2<
S1<
S3
C.S2<
S3<
S1D.S3<
S1
答案 B
解析 因为S1=ʃx2dx==×
23-=,
S2=ʃdx=lnx|=ln2,
S3=ʃexdx=ex|=e2-e=e(e-1).
又ln2<
lne=1,且<
2.5<
e(e-1),
所以ln2<
<
e(e-1),即S2<
S3.
4.ʃ|x2-4|dx等于( )
C.D.
解析 ∵|x2-4|=
∴ʃ|x2-4|dx=ʃ(x2-4)dx+ʃ(4-x2)dx
=+
=-3-+8+8-=.
5.若函数f(x),g(x)满足ʃf(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:
①f(x)=sinx,g(x)=cosx;
②f(x)=x+1,g(x)=x-1;
③f(x)=x,g(x)=x2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析 对于①,ʃsinxcosxdx=ʃsinxdx=0,
所以①是区间[-1,1]上的一组正交函数;
对于②,ʃ(x+1)(x-1)dx=ʃ(x2-1)dx≠0,
所以②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;
对于③,ʃx·
x2dx=ʃx3dx=0,
所以③是区间[-1,1]上的一组正交函数.
6.若f(x)=x2+2ʃf(x)dx,则ʃf(x)dx等于( )
A.-B.-1
C.D.1
解析 ∵f(x)=x2+2ʃf(x)dx,
∴ʃf(x)dx=
=+2ʃf(x)dx,
∴ʃf(x)dx=-.
二、填空题
7.设f(x)=则ʃf(x)
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