普通高等学校招生全国统一考试浙江理.docx
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普通高等学校招生全国统一考试浙江理
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1 A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2)D.[1,2] 2.某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积是( ) A.8cm3B.12cm3 C.cm3D.cm3 3.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0 4.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0 5.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( ) A.B. C.D. 6.设A,B是有限集,定义: d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数, 命题①: 对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②: 对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 7.存在函数f(x)满足: 对于任意x∈R都有( ) A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1| 8.如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′CDB的平面角为α,则( ) A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 9.双曲线-y2=1的焦距是________,渐近线方程是________________. 10.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________. 11.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________,单调递减区间是____________. 12.若a=log43,则2a+2-a=________. 13.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________. 14.若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________. 15.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0=________,y0=________,|b|=________. 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2. (1)求tanC的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. 17.(本小题满分15分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点. (1)证明: A1D⊥平面A1BC; (2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值. 18.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明: 当|a|≥2时,M(a,b)≥2; (2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值. 19.(本小题满分15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 20.(本小题满分15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a(n∈N*). (1)证明: 1≤≤2(n∈N*); (2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明≤≤(n∈N*). 参考答案 1.解析: 选C 由x2-2x≥0,得x≤0或x≥2,即P={x|x≤0或x≥2},所以∁RP={x|0<x<2}=(0,2).又Q={x|1<x≤2}=(1,2],所以(∁RP)∩Q=(1,2). 2.解析: 选C 由三视图可知,该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为2cm的正方体,体积V1=2×2×2=8(cm3);上面是底面边长为2cm,高为2cm的正四棱锥,体积V2=×2×2×2=(cm3),所以该几何体的体积V=V1+V2=(cm3). 3.解析: 选B ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-d2<0. 4.解析: 选D 写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定结论,注意把“且”改为“或”. 5.解析: 选A 由图形可知,△BCF与△ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l的方程为x=-1.∵点A,B在抛物线上,过A,B分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在△CAN中,BM∥AN,∴==. 6.解析: 选A 命题①成立,若A≠B,则card(A∪B)>card(A∩B),所以d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②成立,由Venn图,知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C), d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C), ∴d(A,B)+d(B,C)-d(A,C) =card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C) -2card(B∩C)-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)] =2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C) =2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)] ≥2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)] =[2card(B)-2card((A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)]≥0, ∴d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得证. 7.解析: 选D 取x=0,,可得f(0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A错误;取x=0,π,可得f(0)=0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B错误; 取x=1,-1,可得f (2)=2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C错误; 取f(x)=,则对任意x∈R都有f(x2+2x)==|x+1|,故选项D正确. 综上可知,本题选D. 8.解析: 选B ∵A′C和BC都不与CD垂直,∴∠A′CB≠α,故C,D错误.当CA=CB时,容易证明∠A′DB=α.不妨取一个特殊的三角形,如Rt△ABC,令斜边AB=4,AC=2,BC=2,如图所示,则CD=AD=BD=2,∠BDH=120°,设沿直线CD将△ACD折成△A′CD,使平面A′CD⊥平面BCD,则α=90°.取CD中点H,连接A′H,BH,则A′H⊥CD,∴A′H⊥平面BCD,且A′H=,DH=1.在△BDH中,由余弦定理可得BH=.在Rt△A′HB中,由勾股定理可得A′B=.在△A′DB中,∵A′D2+BD2-A′B2=-2<0,可知cos∠A′DB<0,∴∠A′DB为钝角,故排除A.综上可知答案为B. 9.解析: 由双曲线标准方程,知双曲线焦点在x轴上,且a2=2,b2=1,∴c2=a2+b2=3,即c=,∴焦距2c=2,渐近线方程为y=±x,即y=±x. 答案: 2 y=±x 10.解析: ∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, ∴f(f(-3))=f (1)=1+2-3=0. 当x≥1时,x+-3≥2-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立, 此时f(x)min=2-3<0; 当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0, 此时f(x)min=0. 所以f(x)的最小值为2-3. 答案: 0 2-3 11.解析: ∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin2x-cos2x+=sin+, ∴函数f(x)的最小正周期T=π. 令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 解之可得函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z). 答案: π (k∈Z) 12.解析: ∵a=log43=log23=log2, ∴2a+2-a=2log2+2-log2=+2log2=+=. 答案: 13. 解析: 如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK. ∵M为AD的中点, ∴MK∥AN, ∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点, 由勾股定理易求得AN=DN=CM=2,∴MK=. 在Rt△CKN中,CK==. 在△CKM中,由余弦定理,得 cos∠KMC==. 答案: 14.解析: 满足x2+y2≤1的实数x,y表示的点(x,y)构成的区域是单位圆及其内部. f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y = 直线y=-2x+2与圆x2+y2=1交于A,B两点,如图所示,易得B. 设z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分别作直线y=x和y=-x并平移,则z1=4+x-2y在点B取得最小值为3,z2=8-3x-4y在点B取得最小值为3,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3. 答案: 3 15.解析: 对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),说明当x=x0,y=y0时,|b-(xe1+ye2)|取得最小值1. |b-(xe1+ye2)|2=|b|2+(xe1+ye2)2-2b·(xe1+ye2)=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y,要使|b|2+x2+y2+xy-4x-5y取得最小值,需要把x2+y2+xy-4x-5y看成关于x的二次函数,即f(x)=x2+(y-4)x+y2-5y,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x=2
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