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诸葛亮“草船借箭”不知道孩子们是否知道。
如果不知道,那“乌鸦喝水”的故事都知道吧。
乌鸦为了喝到瓶子里的水,把小石子衔到瓶子里让水位升高,这就是一种策略。
所谓策略,简言之,即计策、谋略。
具体一点说就是为了达到某种目的而选择或设计的方法与技巧。
数学中解决问题的策略,即为了寻找到数学题的解题思路而选择或设计的解题方法与技巧。
有些学生拿到一个题目后,如果会做,那没有问题。
如果不会做呢?
他就在那儿瞪着眼睛,什么事情也不做,你不知道他在看什么,想什么,你问他有什么想法,他说没有什么想法。
这就是标准的没有解题策略。
乌鸦喝不到瓶子里的水,怎么办呀?
难道就这样干瞪眼吗?
你得想办法呀?
当然不是每一只乌鸦都能找到把小石子衔到瓶子里让水位升高这么好的方法的,只有那些肯动脑筋,积累了许多解决问题方法的乌鸦才能找到这么好的方法。
学习解决问题的策略就是帮助我们理解、掌握和积累更多的解决问题的思想和方法。
解决小学数学应用题的策略有许多。
了为提高,我这里讲的比小学课本中讲的要多得多。
下面我把这些策略分成三大类向大家做一个简单的介绍。
一、“有利呈现”的策略
数学作业、数学试卷中的应用题基本上都是以一段文字的形式呈现给大家。
应该说多数题目,我们通过这段文字的分析就可以找到解题思路。
但有些题目,尤其是条件比较复杂、文字比较多的时候,仅凭这段文字,分析起来比较困难。
这时我们有一种策略,就是把题目换一种更加有利于我们清晰地把握题目的已知条件、所要求解的问题和数量关系,更加有利于我们分析思考的形式呈现出来。
像这种策略,我们称之为“有利呈现”的策略。
有利呈现的主要做法是将问题简单化、结构化、直观化,其目的主要是帮助我们更加审题到位,便于我们分析思考。
有利呈现策略的方式主要有以下几种:
(1)标注。
即把题目中的条件、问题和重要的字词句用横线、波浪线和重点符号等标注出来。
这样可以让题目的条件和问题更加突现,从而减少无用文字对我们思维的干扰。
(2)摘录。
即把题目中的条件、问题和重要的字词句有结构地摘录出来。
这样不仅有标注的优点,而且条件间的关系更容易显露出来,便于我们将条件进行比较。
(3)列表。
与摘录类似。
为了节省时间,表格的横竖线有时可以不画。
(4)画图。
即用图形把题目的条件和问题表示出来。
最典型的图形就是线段图。
但要注意,画图不等于全是图形,必要的文字和数学式子做辅助说明还是需要的。
把题目中的条件、问题用图形画出来,可以把数学问题呈现得更加直观,数学题中的数量关系揭示得更加明显。
有学生说,有些题目如果不画图就很难做出来,这话我赞成。
小学四年级上学期课本介绍了列表的策略,这是小学课本中作为专题而介绍的第一个解决问题的策略。
小学四年级下学期在解决问题的策略中主要介绍了画图的策略。
这表明,有利呈现的策略已经被数学专家和教师们所重视。
不过很可惜,有不少学生对此还没有重视起来,有些学生毫无有利呈现数学问题的意识和习惯,有些学生画图的能力非常弱。
例1 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。
第一次相遇离A地有200千米。
然后各自按原速继续行驶,分别到达对方出发地后立即沿原路返回。
第二次相遇时离A地的距离占A、B两地间全长的75%。
A、B两地间的路程长多少千米?
(2014年盐中分班试卷)
仅凭这段文字,这题做起来有些困难。
现在我把这道题的线段图画出来,大家看看题目的意思和数量关系是不是更加清楚和直观呀?
分析:
“第一次相遇离A地有200千米”说得更具体明确一些指什么?
指甲、乙合走一个全程时,甲走了200千米。
第二次又相遇,说明了什么?
说明从开始到第二次相遇,甲、乙合走了3个全程。
合走3个全程,甲应该走多少路程呢?
应该走200×
3=600千米。
从图上看从开始到第二次相遇,甲走了多少路程呀?
甲走了一个全程加1-75%=25%。
现在知道如何求A、B两地间的路程了吧?
本来我想多举几个例子来说明有利呈现的各种策略,但时间不够,尤其是应用题线段图真的要理解掌握它需要好多个课时进行讲解和训练,所以这里只能点到为止。
二、“应用常规”的策略
遇到不会做的题目,采用有利呈现的策略,只是为我们寻找解题途径创造了一个有利环境,即让我们审题更到位,让我们更容易或更直观地看到题目中的数量关系。
但要得到解题思路,接下来还要我们做进一步的分析。
如实例1,画图后题目就做出来了吗?
还没有。
那接下来,我们做什么呢?
有些学生又无语了,又在那儿干瞪眼了。
老师问他,你现在有什么想法呀?
他说没有想法。
这就是我们常说的不会分析。
其实他也不想干瞪眼,他也想找事做,但他真的不知道做什么,怎么做。
这里我要告诉大家一种策略,就是应用常规的策略,即用一些常规性的数学思想方法去探求解题思路。
解答小学数学应用题中常规性的数学思想方法(也可以说成是解题策略)常见的有:
(PPT)
(1)定向规划(实例2)
我们先来看一个例题:
例2 甲、乙两仓库存粮若干吨。
如果甲仓增加30吨,那么乙仓的存粮是甲仓的;
如果乙仓增加30吨,那么甲、乙两仓的存粮比是3:
2。
甲、乙两仓原来各有存粮多少吨?
(2014年解放路初中升学试卷)
这题怎么做?
我估计有些学生在考虑用算术方法解答,但目前还没有找到思路。
虽然这道题目可以用算术方法做,但用方程做更简单。
设甲仓原来存粮x吨,则乙仓原来存粮(x+30)吨。
所以有
x:
[(x+30)+30]=3:
2
这个方程很好解。
请注意,我不是说这题用算术方法不能做,而是说用方程做更快、更简单。
我主张当遇到一道应用题我们一时不知道怎么做时,首先考虑用方程解答。
可有些学生就是没有用方程解题的意识和习惯。
拿到一个题目后,如果会做,那用什么方法都可以,如果暂时没有思路,那不妨先考虑一下解题的方向,即考虑一下是用方程做,还是用算术方法做?
如果用算术方法做,是用分数做还是用比例做?
在确定了方向后,还要考虑一下接下来先做什么?
再做什么?
这就是定向规划的策略。
(2)综合法与分析法(实例3)
所谓综合法,即看由条件可以得到什么?
把推出的结论作为新的条件和原来的条件放在一起又能得到什么?
所谓分析法,即看要求题目中的问题,我们需要什么?
把需要的而题目又没有直接告诉我们的条件作为新的问题再去找求解它所需要的条件。
综合法由条件向下推结论,分析法由结论向上找条件,这是解题各类数学问题最最常用的数学思想方法,大家一定要理解掌握。
例3 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图。
乙槽中有一圆柱形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上)。
现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中的水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示。
根据图像提供的信息,解答下列问题:
(1)图2中折线ABC表示( )槽中水的深度与注水时间之间的关系。
线段DE表示( )槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”);
(2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同?
(2012年一中升学试卷)
第
(1)小题简单。
第
(2)小题怎么做?
请用综合法与分析法寻找本题的解题思路。
(3)找关键性问题(实例4)
例4 客货两车同时从甲、乙两地相向开出,匀速行驶。
相遇后两车继续前行,一段时间后,客车离目的地还有54千米,货车离目的地还有189千米。
已知货车的速度是客车的80%。
甲、乙两地相距多少千米?
(2015年解放路初中升学试卷)
为便于分析,我们先画一个线段图:
如果一时找不到解题思路,有时可以先看一看解决问题的关键性问题是什么?
容易看出,本题的关键问题是要求出客车的行驶的时间。
那么能求出客车行驶的时间吗?
如果能求,该如何求呢?
比较客车和货车行驶的路程差和速度差,可以求出客车和货车行驶的时间。
这样问题可以解决。
(4)识别套用题型(实例5)
例5 有两堆棋子,甲堆中有500个白子和350个黑子,乙堆中有200个白子和200个黑子。
为了使甲堆中的黑子占50%,乙堆中黑子占25%,甲、乙两堆中的黑、白子应如何调整?
(2012年盐中分班试卷)
数学中介绍了那么多典型应用题,目的主要有两个,一是通过学习这些典型应用题,让我们学到分析和解决问题的方法,训练我们的思维能力,二是让我们在做题时可以套用或借用。
本题两堆棋子调整后的结果告诉了我们,所以应该考虑借用“还原问题”,用倒推法分析。
而在倒推的过程中,我们又发现其中含有一个“差倍问题”。
再继续分析下去此题可解。
识别套用题型,这实际上是一种不由自主的行为,如果你对某种题型理解掌握得非常好,那么以后再见到这类题目,你会一眼看出,并进行模仿解题。
可我们发现不少学生拿到的题目明明是已学题型,可他却不知。
为什么?
因为他对已学题型理解不深刻,不系统。
我问过一些六年级的学生:
什么是鸡兔同笼问题呀?
用假设法求解鸡兔同笼问题的一般步骤是什么?
回答不出,这说明对这类问题的结构特征和所使用的假设法理解不到位。
我又问:
你们已经学习了哪些能够叫出名称的典型应用题呀?
他们说不出几个。
而我看许多小学数学试卷和奥数竞赛试卷,发现里面典型应用题,或由几个典型应用题组合而成的应用题很多。
我一看,哦,这是交叉重叠问题,所以我就用交叉重叠问题的解题方法去做;
我一看,哦,这是和倍问题和鸡兔同笼问题的组合题,所以我用和倍问题和鸡兔同笼问题的解题方法去分析解答。
把套用题型作一种策略提出来,就是希望同学们要学好每一种典型应用题,并进行总结归类,这样有助于我们举一反三。
(5)转化(六年级下)(实例2)
刚才用方程解答了例2,其实例2也可以用算术方法做。
我们发现问题中甲加上乙再加上30吨这个和始终没有变,所以我们可以把这个不变的和作为单位“1”,将问题中的两个条件进行转化,即转化成甲增加30吨后,乙是增加后甲、乙和的;
乙增加30吨后,乙是增加后甲、乙和的。
然后30÷
(-)得到增加30吨后甲、乙的和。
再下面就简单了。
转化的策略,小学是在六年级下的解决问题的策略中专门提出来的。
但其实这一思想方法早有渗透。
转化是数学中的一种普遍的、十分重要的思想方法。
从哲学的角度看,一切数学问题的解答过程都是转化的过程。
当然,对小学生这么说太复杂了,没有必要。
我们是要告诉同学们,要学会把已知条件向我们需要的,向已经会解决的问题方向转化,从而使题目得解。
(6)比较条件(实例6)
盈亏问题主要就是通过比较条件而获得解题途径的。
例6 甲、乙两人各加工一批零件。
如果甲每小时加工24个,乙每小时加工12个,那么当乙完成时,甲还有22个没有加工;
如果甲每小时加工12个,乙每小时加工24个,那么当乙完成时,甲还剩130个。
甲、乙各加工多少个?
(2015年盐中分班试卷)
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