电动力学2教案.doc
- 文档编号:1423736
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOC
- 页数:23
- 大小:1.03MB
电动力学2教案.doc
《电动力学2教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电动力学2教案.doc(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第二章静电场
本章主要研究静电场的一些求解方法。
由于静电场的基本方程是矢量方程,求解很难,因此一般都是采用引入电势来求解。
因此,本章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。
然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。
静电场的基本特点
静电场:
静止电荷产生的磁场;
特点:
①,,静电场可单独存在。
②等均与t无关③不考虑永久磁体()基本方程:
;
边值关系:
。
求介质分界面上的束缚电荷用:
[则]
电磁性质方程:
①均匀各向同性线性介质:
②静电平衡时的导体:
导体内部:
。
外部表面:
电荷分布在表面上,电场处处垂直于导体表面。
§2.1静电势及其微分方程
一.静电场的标势
1.静电势的引入:
因为静电场为无旋场,即,所以可以引入标量函数,引入后
——静电场标势(简称电势)。
①的选择不唯一,相差一个常数,只要知道即可确定
②取负号是为了与电磁学讨论一致
③满足迭加原理
二.静电势的微分方程和边值关系
1.满足的方程
泊松方程:
其中仅为自由电荷分布,适用于均匀各向同性线性介质。
导出过程:
拉普拉斯方程:
(适用于的区域)。
2.边值关系
(S为分界面)
(由1→2)
(1)两介质交接面上边值关系
证明:
(a)
P→Q积分为零,所以即。
(b)(为自由面电荷分布)
由
∵∴
(1)导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面,因此在导体表面上电势为一常数。
将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上,并考虑导体内部电场为零,则可以得到第二个边值关系:
三.静电场的能量
1.一般方程:
能量密度(均匀各向同性线性介质)总能量
2.若已知总能量为,但不代表能量密度。
导出过程:
∵∽∽
∴,
该公式只适合于静电场情况,能量不仅分布在电荷区,而且存在于整个场中。
§2.2唯一性定理
一.泊松方程和边界条件
V
S
假定所研究的区域为V,在一般情况下V内可以有多种介质或导体,对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。
设V内所求电势为,它们满足泊松方程
泊松方程或拉普拉斯方程(区域)的解有多种形式,要确定且唯一确定V内电场,必须给出边界条件。
在数学上这称为给定边值条件的求解问题:
一般边界条件有两类:
①边界S上,为已知,若为导体=常数为已知。
②边界S上,为已知,若是导体要给定总电荷Q。
它相当于给定()。
内边界条件由
边值关系给出:
法线方向,
在实际问题中,因为导体内场强为零,可以不包含在所求区域V内。
导体上下边界条件为外边界条件。
对于V内两介质分界面上。
二.唯一性定理
1.均匀单一介质
当区域内分布已知,满足,若V边界上已知,或V边界上已知,则V内场(静电场)唯一确定。
1.介质分区均匀(不包含导体)
V内已知,成立,给定区域或
Q1
Q2
在分界面上,或
则V内场唯一确定。
(证明见书P.60)
2.均匀单一介质中有导体(证明见书P.62)
导体中,要求的是内的场。
Q
S
S
当和,已知或,(,)为已知,则内场唯一。
确定,
或。
三.唯一性定理的意义
(1)唯一性定理给出了确定静电场的条件,为求指明了方向。
(2)更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解,只要该解满足泊松方程和给定边界条件,则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题,我们可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程,而是提出尝试解,只要满足方程和边界条件即为所求的解,若不满足,可以加以修改。
四.应用举例
1.两种均匀介质(和)充满空间,一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上(球心在界面上),求空间电势分布。
解:
外边界为无穷远,电荷分布在有限远
导体上Q给定,所以球外场唯一确定
对称性分析:
若,则(回到上例结果)。
若,从直观看似乎不再具有球对称性,而是具有轴对称。
但是实际情况并非如此。
由于无论在介质1还是介质2,导体外表面电场均与表面垂直,因此在P点必然与重合,所以介质分界面上,而。
在介质分界面上:
所以没有束缚电荷分布,束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。
对于上半个空间,介质均匀极化,场具有对称性,同样下半空间也具有对称性。
而在介质分界面上,所以可考虑球外电场仍具有球对称性。
设试探解:
确定常数:
在介质分界面上∴
∵
∴
下半空间
上半空间
导体球面上面电荷分布:
下半球面上均匀分布
上半球面上均匀分布
束缚电荷分布:
从这里可以看出,电荷在整个球面上是不均匀分布的。
这种非均匀分布造成场的均匀分布。
从物理机制看:
当导体放入介质时,一开始均匀分布,产生的场是非球对称场,它在介质中产生束缚电荷,束缚电荷也产生一个场,但总场不满足静电场唯一性定理,因此导体表面电荷要重新分布。
达到静电平衡时,球外场均匀分布,满足唯一性定理,这时电荷分布不再是均匀的。
§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
一拉普拉斯方程的适用条件
1.空间处处,自由电荷只分布在某些介质(如导体)表面上,将这些表面视为区域边界,可以用拉普拉斯方程。
2.在所求区域介质中有自由电荷分布,若这个自由电荷分布在真空中,产生的势为已知。
①若所求区域为单一均匀介质,则介质中电势为真空中电势。
②若所求区域为分区均匀介质,则不同介质交界面上有束缚面电荷。
则区域V中电势可表示为两部分的和
不满足,但使满足,仍可用拉普拉斯方程求解。
但注意,边值关系还要用而不能用。
二解题步骤
1.选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状
参考点主要根据电荷分布是有限还是无限
2.分析对称性,分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解
3.根据具体条件确定常数
(1)外边界条件:
电荷分布有限
边界条件和边值关系是相对的。
导体边界可视为外边界,给定,或给定总电荷Q,或给定
(接地)
电荷分布无限,一般在均匀场中,
(直角坐标或柱坐标)
x
y
O
V
(2)内部边值关系:
介质分界面上
表面无自由电荷。
应用实例(习题课)
1.两无限大平行导体板,相距为,两板间电势差为V
(与无关),一板接地,求两板间的电势和
解:
(1)边界为平面,故应选直角坐标系
下板接地,为参考点
(2)定性分析:
由于在处,常数,可考虑与无关。
(3)列出方程并给出解:
在区域,
(4)方程的解:
(5)定常数:
(6)结果:
显然满足和边界条件
常数,均匀场
2.半径a,带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体,求导体柱外空间的电势和电场。
x
y
z
o
r
θ
解:
电荷分布在无限远,电势零点应选在有限区域,为简单可选在导体面r=a处(即)。
选柱坐标系:
对称性分析:
①导体为圆柱,柱上电荷均匀分布,一定与无关。
②柱外无电荷,电力线从面上发出后,不会终止到面上,只能终止到无穷远,且在导体面上电场只沿方向,可认为与z无关,
当r=a时,则不选择零点也不影响求场。
常数C的确定:
∵
∴
若选则
()]
电场:
x
y
z
O
在表面上
3.一半径为a,介电常数为的无限长电介质圆柱,柱轴沿方向,沿方向上有一外加均匀电场,求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。
解:
(1)边界为柱面选柱坐标系
均匀场电势在无穷远处不为零,故参考点选在
有限区域,例如可选在坐标原点
常数(或0)
(2)考虑对称性电势与z无关,设柱内电势为,柱外为
它们分别满足。
解为:
(3)确定常数
①因为有外加均匀场,它们对x轴对称,可考虑、也相对x轴对称(为偶函数),所以、中不应包含项,故:
均为零。
②常数(或零),有限,故中不应有项,,(均匀场电势),因此中不应有方项()(即得)
③时,
两边为任意值,前系数应相等()
(4)解为
(5)求柱内电场:
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化,束缚电荷主生的场与反向
(6)柱面上束缚面电荷分布
由
∴
两边为任意值,前系数应相等()
(4)解为
(5)求柱内电场:
∴仍沿x方向
∵∴
这是因为介质极化,束缚电荷主生的场与反向
(6)柱面上束缚面电荷分布
由
∴
(或常数)
(7)若圆柱为导体,可采用上述方法重新求解,或令
4.如图所示的导体球(带电Q)和不带电荷的导体球壳,
求空间各点的电势及球壳内外面上的感应电荷。
解:
(1)边界为球形,选球坐标系
电荷分布在有限区,选
(2)设壳外为2区,球壳内为1区,球外
(若将Q移到壳上,球接地为书中P67例题)
,球壳内
电荷在球上均匀分布,场具有球对称性,
与无关,
(3)确定常数
①
②
③导体壳为等势体
④在导体壳上
即
设内壳
外壳
∴
(4)解
(5)球壳上的感应电荷
壳外面
壳内面
以一结果均与高斯定理求解一致。
§2.4电象法
Q
Q
一.电象法的概念和适用条件
1.求解泊松方程的难度
区域无分布,适用。
对直角坐标无对称性,用球坐标具有轴对称,但边界为平面
区域有自由电荷,适用,但求解很困难。
导体球导体板
(导体表示电荷分布是不均匀的)
在许多特殊情况下可采用迭加法求解(如上节例6),对于空间存在点电荷的情况,原则上也能够求解(习题2)。
还有一些例子也可
采用该方法来求,
但求解不是难度极大,就是解不出来(如导体板情况)。
因为前面讲的实例大多是分界面电荷均匀分布,而许多情况分界面上电荷是非均匀分布的,造成场对称性很差。
2.唯一性定理保证下的不择手段
从物理上考虑,在唯一性定理保证下,可以采用试探解的方法。
特别是对于自由电荷仅为点电荷时,导体面上感应电荷分布可以等效地看作一个或几个点电荷。
3.电象法概念、条件
(1)电象法:
用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布,然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。
(2)条件:
a)所求区域内只能有少许几个点电荷。
(只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。
)
b)导体边界面形状规则,具有一定对称性。
c)给定边界条件。
要求:
a)做替代时,不能改变原有电荷分布(即自由点电荷位置、Q大小不能变)。
泊松方程不能改变。
所以假想电荷必须放在所求区域之外。
b)不能改变原有边界条件,通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。
c)一旦用了假想等效电荷,不能再考虑边界面上的电荷分布。
d)坐标系选择仍然根据边界形状来定。
二.应用举例
1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷,求空间电势。
Q
Q/
P
z
解:
二.应用举例
(1)分析:
左半空间
显然满足这个解。
由唯一性定理保证
右半空间,Q处在(0,0,a)点,其余点
边界
从物理问题的对称性和边界条件考虑,假想电荷应在左半空间z轴上。
设电量为,位置为(0,0,)
∴
(2)由边界条件确定和,。
(要在左半空间)
唯一解是
(3)讨论:
(a)导体面上
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 电动力学 教案