人教版选修22高中数学第一章 导数及其应用133函数的最大小值与导数同步习题及答案Word文档格式.docx
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答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值;
f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.
思考2 观察思考1的函数y=f(x),你能找出函数f(x)在区间a,b]上的最大值、最小值吗?
若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?
由此你得到什么结论?
答 函数y=f(x)在区间a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.
小结 一般地,如果在区间a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值必在端点处或极值点处取得.
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系?
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;
极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;
有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;
极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值.
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤:
1.求导,确定函数在闭区间上的极值点.
2.求出函数的各个极值和端点处的函数值.
3.比较大小,确定结论.
例1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈-2,3];
(2)f(x)=x+sinx,x∈0,2π].
解
(1)f(x)=2x3-12x,
∴f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),
令f′(x)=0,解得x=-或x=.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-,).
因为f(-2)=8,f(3)=18,f()=-8,
f(-)=8;
所以当x=时,f(x)取得最小值-8;
当x=3时,f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)=+cosx,令f′(x)=0,又x∈0,2π],
解得x=π或x=π.
计算得f(0)=0,f(2π)=π,f(π)=+,
f(π)=π-.
∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;
当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
反思与感悟
(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.
跟踪训练1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-4x+4,x∈0,3];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈2,5].
解
(1)∵f(x)=x3-4x+4,
∴f′(x)=x2-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
∵f
(2)=-,f(0)=4,f(3)=1,
∴函数f(x)在0,3]上的最大值为4,最小值为-.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<
0,
即函数f(x)在区间2,5]上单调递减,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f
(2)=-e2;
x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′
(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间0,2]上的最大值.
解
(1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′
(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f
(1)=1,f′
(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f(x)在0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f
(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f(x)在0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<
<
2,即0<
a<
3时,
f(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而f(x)max=
综上所述,f(x)max=
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
跟踪训练2 在本例中,区间0,2]改为-1,0]结果如何?
解 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a,
①当a≥0,即a≥0时,f(x)在-1,0]上单调递增,从而f(x)max=f(0)=0;
②当a≤-1,即a≤-时,f(x)在-1,0]上单调递减,
从而f(x)max=f(-1)=-1-a;
③当-1<
0,即-<
0时,
f(x)在上单调递增;
在上单调递减,
则f(x)max=f=-a3.
综上所述:
f(x)max=
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系?
答 解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.
如f(x)>
0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.
如f(x)<
0恒成立,只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍,对含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.
例3 设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
(1)若对任意的x∈0,3],都有f(x)<
c2成立,求c的取值范围.
(2)若对任意的x∈(0,3),都有f(x)<
解
(1)∵f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
∴当x∈(0,1)时,f′(x)>
0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<
当x∈(2,3)时,f′(x)>
0.
∴当x=1时,f(x)取极大值f
(1)=5+8c.
又f(3)=9+8c>
f
(1),
∴x∈0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
∵对任意的x∈0,3],有f(x)<
c2恒成立,
∴9+8c<
c2,即c<
-1或c>
9.
∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
(2)由
(1)知f(x)<
f(3)=9+8c,
∴9+8c≤c2即c≤-1或c≥9,
∴c的取值范围为(-∞,-1]∪9,+∞).
反思与感悟
(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.
跟踪训练3 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1 (x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g′(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1(不合题意,舍去).
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
g(t)
1-m
∴对t∈(0,2),当t=1时,g(t)max=1-m,
∵h(t)<
-2t-m对t∈(0,2)恒成立,
也就是g(t)<
0,对t∈(0,2)恒成立,
∴只需g(t)max=1-m<
0,∴m>
1.
故实数m的取值范围是(1,+∞)
1.函数y=f(x)在a,b]上( )
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知,y=f(x)在a,b]上的最大值一定大于极小值.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<
1)( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<
0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.
3.函数y=x-sinx,x∈的最大值是( )
A.π-1B.-1C.πD.π+1
答案 C
解析 因为y′=1-cosx,当x∈时,y′>
0,则函数在区间上为增函数,所以y的最大值为ymax=π-sinπ=π,故选C.
4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4]上的最大值为10,则其最小值为________.
答案 -71
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
呈重点、现规律]
1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;
函数在一个开区间内只有一个极值,这个极值就是最值.
2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、基础过关
1.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A.f
(2),f(3)B.f(3),f(5)
C.f
(2),f(5)D.f(5),f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)=-2x+4,
∴当x∈3,5]时,f′(x)
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- 人教版选修22高中数学第一章 导数及其应用133函数的最大小值与导数同步习题及答案 人教版 选修 22 高中数学 第一章 导数 及其 应用 133 函数 最大 同步 习题 答案
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