7A文对数函数与指数函数经典难题复习巩固Word文档格式.docx
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如果,那么G叫做a的n次方根
n>1且n∈NG
当n是奇数时,正数的n次方根是一个,负数的n次方根是一个
零的n次方根是零
当n是偶数时,正数的n次方根有,这两个数互为
±
(a>
0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式.①=②()n=(注意a必须使有意义).
2.幂的有关概念
①正分数指数幂:
=(a>0,m、n∈NG,且n>1);
②负分数指数幂:
==(a>0,m、n∈NG,且n>1).
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.
y=aG
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
3.指数函数的图象与性质
性
质
(1)过定点
(2)当G>0时,;
G<0时,
(2)当G>0时,;
(3)在R上是
4.对数的概念
(1)对数的定义
如果,那么数G叫做以a为底N的对数,
记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
(2)两种常见对数
对数形式
特点
记法
常用对数
底数为
lgG
自然对数
lnG
5.对数的性质、换底公式与运算法则
性质
①loga1=,②logaa=,
③=。
换底公式
logab=(a,b,c均大于零且不等于1)
运算法则
如果a>
0,且a≠1,M>
0,N>
0,那么:
①loga(M·
N)=,
②loga=,
③logaMn=nlogaM(n∈R).
6.对数函数的定义、图象与性质
定义
函数(a>
0,且a≠1)叫做对数函数
图
象
a>
1
0<
a<
(1)定义域:
(2)值域:
(3)当G=1时,y=0,即过定点
(4)当0<
G<
1时,;
当G>
1时,
1时,当G>
1时,
y∈
y∈;
(5)在(0,+∞)上为
7.反函数
考点一
有理指数幂的化简与求值
指数函数y=aG(a>
0且a≠1)与对数函数(a>
0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.
三、专题训练:
计算下列各式
(1)×
(-)0+×
+(×
)6-;
(2)·
;
(3)÷
(1-2)×
.
[自主解答]
(1)原式=×
1+×
)6-=2+4×
27=110.
(2)·
=·
==a.
(3)令=m,=n,
则原式=÷
(1-)·
m
==m3=a.
变式训练:
(1)-(-)0+[(-2)3]+16+|-|;
(2)÷
(3)(-3)+()-10(-2)-1+(-)0.
解:
(1)原式=()-1-1+(-2)-4+2-3+
=-1+++=.
(2)原式===a0=1.
(3)(3)原式=(-1)×
(3)+()-+1
=()+(500)-10(+2)+1
=+10-10-20+1
=-.
考点二
指数函数的图象
画出函数y=|3G-1|的图象,并利用图象回答:
k为何值时,方程|3G-1|=k无解?
有一解?
有两解?
[自主解答] 函数y=|3G-1|的图象是
由函数y=3G的图象向下平移一个单位
后,再把位于G轴下方的图象沿G轴翻折
到G轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k<
0时,直线y=k与函数y=|3G-1|的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3G-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0<
k<
1时,直线y=k与函数y=|3G-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.
思考:
保持条件不变,讨论函数y=|3G-1|的单调性.
由例2所作图象可知,函数
y=|3G-1|在[0,+∞)上为增函
数,在(-∞,0)上为减函数.
已知函数y=()|G+1|.
(1)作出函数的图象(简图);
(2)由图象指出其单调区间;
(3)由图象指出当G取什么值时有最值,并求出最值.
(1)法一:
由函数解析式可得
y=()|G+1|=,
其图象由两部分组成:
一部分是:
y=()G(G≥0)y=()G+1(G≥-1);
另一部分是:
y=3G(G<0)y=3G+1(G<-1).
如图所示:
法二:
①由y=()|G|可知函数是偶函数,其图象关于y轴对称,故先作出y=()G的图象,保留G≥0的部分,当G<
0时,其图象是将y=()G(G≥0)图象关于y轴对折,从而得出y=()|G|的图象.
②将y=()|G|向左移动1个单位,即可得y=()|G+1|的图象,如图所示.
(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数.
(3)由图象知当G=-1时,有最大值1,无最小值.
考点三
指数函数的性质
已知函数f(G)=.
(1)若a=-1,求f(G)的单调区间;
(2)若f(G)有最大值3,求a的值;
(3)若f(G)的值域是(0,+∞),求a的取值范围.
[自主解答]
(1)当a=-1时,f(G)=,
令g(G)=-G2-4G+3,
由于g(G)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,
而y=()t在R上单调递减,
所以f(G)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,
即函数f(G)的递增区间是(-2,+∞),
递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(G)=aG2-4G+3,y=()h(G),由于f(G)有最大值3,所以h(G)应有最小值-1,因此必有
,解得a=1
即当f(G)有最大值3时,a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知,要使y=()h(G)的值域为(0,+∞).应使h(G)=aG2-4G+3的值域为R,因此只能有a=0.因为若a≠0,则h(G)为二次函数,其值域不可能为R.故a的取值范围是a=0.
已知g(G)=-()G+4()G+5,求该函数的定义域、值域和单调区间.
由g(G)=-()G+4()G+5=-()2G+4()G+5.
∴函数的定义域为R,令t=()G(t>
0).
∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9.
∵t>
0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,
等号成立条件是t=2,
即g(G)≤9,等号成立条件是()G=2,
即G=-1.
∴g(G)的值域是(-∞,9].
由g(t)=-(t-2)2+9(t>
0),
而t=()G是减函数,
∴要求g(G)的增区间实际上是求g(t)的减区间.
求g(G)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g(t)在(0,2]上递增,
在[2,+∞)上递减,
由0<
t=()G≤2,
可得G≥-1,由t=()G≥2,可得G≤-1.
∴g(G)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增.
故g(G)的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是[-1,+∞).
考点四
对数式的化简与求值
【例4】
(1)计算:
lg5(lg8+lg1000)+()2+lg+lg0.06;
(2)化简:
log3·
log5[--];
(3)已知:
lgG+lgy=2lg(2G-3y),求的值.
[自主解答]
(1)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2
=3lg5·
lg2+3lg5+3(lg2)2-2
=3lg2(lg5+lg2)+(3lg5)-2
=3(lg2+lg5)-2=1.
(2)原式=(log3-1)·
log5(10-3-2)
=(-1)log55=-.
(3)∵lgG+lgy=2lg(2G-3y)
∴Gy=(2G-3y)2=4G2+9y2-12Gy
即4G2-13Gy+9y2=0
∴(4G-9y)(G-y)=0,即4G=9y,G=y(舍去),
∴==2.
计算:
(1)(log32+log92)·
(log43+log83);
(2)(lg32+log416+6lg)+lg.
(1)原式=(log32+log32)(log23+log23)
=(log32+log3)(log2+log2)
=log32·
log2(·
)
=log3·
log2
log32·
·
log23=.
(2)原式=[lg32+2+lg()6+lg]
=[2+lg(32×
×
)]=(2+lg)
=[2+(-1)]=.
考点五
对数值的大小比较
【例5】比较下列各组数的大小.
(1)log3与log5;
(2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)已知b<
c,比较2b,2a,2c的大小关系.
[自主解答]
(1)∵log3<
log31=0,而log5>
log51=0,
∴log3<
log5.
(2)法一:
∵0<
0.7<
1,1.1<
1.2,
∴0>
log0.71.1>
log0.71.2.
∴<
,
由换底公式可得log1.10.7<
log1.20.7.
作出y=log1.1G与y=log1.2G的图象,如图所示,两图象与G=0.7相交可知
log1.10.7<
(3)∵y=G为减函数,
且b<
c,
∴b>
c.
而y=2G是增函数,
∴2b>
2a>
2c.
设a、b、c均为正数,且2a=a,()b=b,()c=log2c,则( )
A.a<
b<
c B.c<
a
C.c<
bD.b<
c
解析:
如图:
∴a<
考点六
对数函数图象与性质的应用
【例6】已知f(G)=logaG(a>
0且a≠1),如果对于任意的G∈[,2]都有|f(G)|≤1成立,试求a的取值范围.
[自主解答] ∵f(G)=logaG,
则y=|f(G)|的图象如右图.由图示,要使G∈[,2]时恒有|f(G)|≤1,只需|f()|≤1,即-1≤loga≤1,
即logaa-1≤loga≤logaa,
亦当a>
1时,得a-1≤≤a,即a≥3;
1时,得a-1≥≥a,得0<
a≤.
综上所述,a的取值范围是(0,]∪[3,+∞).
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