年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文Word下载.doc
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(C)2πa2
(D)3πa2
5.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()
(A)k1<
k2<
k3
(B)k3<
k1<
k2
(C)k3<
k1
(D)k1<
k3<
6.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是 ()
(A)y=±
3x
(C)y=
(D)y=
7.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 ()
(D)[0,π]
8.x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是 ()
(A)相离
(B)外切
(C)相交
(D)内切
9.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于 ()
(B)-
(D)-
10.如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成的角的余弦值是()
11.已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是()
(A)(0,2)
(B)(0,1)
(C)(1,2)
(D)(2,+∞)
12.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是 ()
(A)-297
(B)-252
(C)297
(D)207
13.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题,
①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥β
其中正确的两个命题是 ()
(A)①与②
(B)③与④
(C)②与④
(D)①与③
14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn与Tn,若,则等于 ()
(A)1
15.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 ()
(A)24个
(B)30个
(C)40个
(D)60个
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中的横线上)
16.方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是_____________
17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成角为,则圆台的体积与球体积之比为____________
18.函数y=cosx+cos(x+)的最大值是___________
19.若直线l过抛物线y2=4(x+1)的焦点,并且与x轴垂直,则l被抛物线截得的线段长为______________
20.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答)
三、解答题(本大题共6小题,共65分:
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21.(本小题满分7分)解方程3x+2-32-x=80.
22.(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ,θ∈(π,2π),求复数z2+z的模和辐角
23.(本小题满分10分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明:
.
24.(本小题满分12分)如图,ABCD是圆柱的轴截面,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足.
(1)求证:
AF⊥DB
(2)如果AB=a,圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π,求点E到截面ABCD的距离.
25.(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为,政府补贴为,根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量p千克与市场日需求量Q近似地满足关系:
P=1000(x+t-8)(x≥8,t≥0),
Q=500(8≤x≤14),
当P=Q时的市场价格为市场平衡价格,
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域:
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少每千克多少元?
26.(本小题满分12分)已知椭圆,直线l:
x=12,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·
|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
数学试题(文史类)参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1.B2.D3.C4.B5.D6.C7.A8.C9.A10.A11.B12.D13.D14.C15.A
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
16.317.18.19.420.144
三、解答题
21.本小题主要考查指数方程的解法及运算能力,
解:
设y=3x,则原方程可化为9y2-80y-9=0,
解得:
y1=9,y2=
方程3x=无解,
由3x=9得x=2,所以原方程的解为x=2.
22.本小题主要考查复数的有关概念,三角公式及运算能力,
z2+z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ+isinθ)
=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2coscos+i(2sincos)
=2cos(cos+isin)
=-2cos[cos(-π+)+isin(-π+)]
∵θ∈(π,2π)
∴∈(,π)
∴-2cos()>
所以复数z2+z的模为-2cos,辐角(2k-1)π+(k∈z).
23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力,
证法一:
设{an}的公比为q,由题设知a1>
0,q>
0,
(1)当q=1时,Sn=na1,从而
Sn·
Sn+2-=na1(n+2)a1-(n+1)2=-<
0.
(2)当q≠1时,,从而
Sn+2-==-qn<
由
(1)和
(2)得Sn·
Sn+2<
根据对数函数的单调性,得log0.5(Sn·
Sn+2)>
log0.5,
即.
证法二:
∵Sn+1=a1+qSn,
Sn+2=a1+qSn+1,
∴Sn·
Sn+2-=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1<
即Sn·
.(以下同证法一)
24.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)证明:
根据圆柱性质,DA⊥平面ABE,
∵EB平面ABE,
∴DA⊥EB,
∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上,
∴AE⊥EB,又AE∩AD=A,故得EB⊥平面DAE,
∵AF平面DAE,
∴EB⊥AF,
又AF⊥DE,且EB∩DE=E,故得AF⊥平面DEB,
∵DB平面DEB,
∴AF⊥DB.
(2)解:
设点E到平面ABCD的距离为d,记AD=h,因圆柱轴截面ABCD是矩形,所以AD⊥AB.
S△ABD=AB·
AD=
∴VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=dah
又V圆柱=a2h
由题设知=3π,即d=.
25.本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.
(1)依题设有1000(x+t-8)=500
化简得5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0,
当判别式△=800-16t2≥0时,可得:
X=8-t±
由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:
①
②
解不等式组①,得0≤t≤,不等式组②无解,故所求的函数关系式为
x=8-t+
函数的定义域为[0,]
(2)为使x≤10,应有8-t+≤10,
化简得:
t2+4t-5≥0,
解得t≥1或t≤-5,由于t≥0知t≥1,从而政府补贴至少为每千克1元.
26.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力.
设点P、Q、R的坐标分别为(12,yp),(x,y),(xR,yR由题设知xR>
0,x>
由点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组
解得①
②
由点O、Q、P共线,得,即yp=.③
由题设|OQ|·
|OP|=|OR|2得
将①、②、③式代入上式,整理得点Q的轨迹方程
(x-1)2+=1(x>
0)
所以点Q的轨迹是以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为1和,且长轴在x轴上的椭圆、去掉坐标圆点.
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