高中立体几何证明方法及例题文档格式.doc
- 文档编号:14615292
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:24
- 大小:335KB
高中立体几何证明方法及例题文档格式.doc
《高中立体几何证明方法及例题文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中立体几何证明方法及例题文档格式.doc(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
1.三类角的定义:
(1)异面直线所成的角θ:
0°
<θ≤90°
(2)直线与平面所成的角:
≤θ≤90°
(3)二面角:
二面角的平面角θ,0°
<θ≤180°
2.三类角的求法:
转化为平面角“一找、二作、三算”
即:
(1)找出或作出有关的角;
(2)证明其符合定义;
(3)指出所求作的角;
(4)计算大小。
(三)空间距离:
求点到直线的距离,经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关三角形中求解。
求点到面的距离,一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离,直线与平面的距离,面面距离都可转化为点到面的距离。
【典型例题】
(一)与角有关的问题
例1.
(1)如图,E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为()
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
解:
取AC中点G,连结EG、FG,则
∴∠EGF为AB与PC所成的角
在△EGF中,由余弦定理,
∴AB与PC所成的角为180°
-120°
=60°
∴选A
(2)已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面积,则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为()
①点P到平面QEF的距离为定值;
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值;
③二面角P—EF—Q的大小为定值;
④三棱锥P—QEF的体积为定值
其中正确命题的序号是___________。
∴①对,②错
值,∴③对
综上,①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图
(2)的正方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题:
(1)求MN和PQ所成角的大小;
(2)求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比;
(3)求二面角M—NQ—P的大小。
(1)如图②,作出MN、PQ
∵PQ∥NC,又△MNC为正三角形
∴∠MNC=60°
∴PQ与MN成角为60°
即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1:
6
(3)连结MA交PQ于O点,则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM,∴NP⊥MO,则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ,连结ME,则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中,ME·
NQ=MN·
MQ
设正方体的棱长为a
∴∠MEO=60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°
。
例3.如图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
(1)作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PE
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB(根据___________)
∵PA=PD,∴OA=OD
于是OB平分AD,点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
∴∠PEB=120°
,∠PEO=60°
即为P点到面ABCD的距离。
(2)由已知ABCD为菱形,及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA=AB=2,又易证PB⊥BC
故取PB中点G,PC中点F
则AG⊥PB,GF∥BC
又BC⊥PB,∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD,∴∠AGF=π-∠GAE
连结GE,易证AE⊥平面POB
(2)解法2:
如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA
(二)与距离有关的问题
例4.
(1)已知在△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°
,它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距离是()
A.13 B.11 C.9 D.7
解:
设点P在△ABC所在平面上的射影为O
∵PA=PB=PC,∴O为△ABC的外心
△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°
长度为___________。
(采用展开图的方法)
点评:
此类试题,求沿表面运动最短路径,应展开表面为同一平面内,则线段最短。
但必须注意的是,应比较其各种不同展开形式中的不同的路径,取其最小的一个。
(3)在北纬45°
圈上有甲、乙两地,它们的经度分别是东经140°
与西经130°
,设地球半径为R,则甲、乙两地的球面距离是()
(O1为小圆圆心)
∴△AOB为正三角形(O为球心)
∴选D
例5.如图,四棱锥P—ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD中点。
(1)求证:
AF∥平面PEC;
距离。
G为PC中点,连结FG、EG
又∵F为PD中点
∴四边形AEGF为平行四边形
∴AF∥平面PEC
(2)∵CD⊥AD,又PA⊥面ABCD
∴AD为PD在面ABCD上射影
∴CD⊥PD
∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角,且∠PDA=45°
则△PAD为等腰直角三角形
∴AF⊥PD,又CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
∴AF⊥面PCD
作FH⊥PC于H,则AF⊥FH
又EG∥AF,∴EG⊥FH
∴FH⊥面PEC,∴FH为F到面PEC的距离
在Rt△PEG中,FH·
PG=PF·
FG
方法2:
(体积法)
∵AF∥面PEC,故只要求点A到面PEC的距离d
易证AF⊥面PCD,∴EG⊥面PCD
∴EG⊥PC
(三)对命题条件的探索
例6.
(1)如图已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件E点有两个时,a的取值范围是()
∵PA⊥面ABCD,PE⊥DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点,要有两个交点,则
AD>2AB=6
(2)如图,在三棱柱ABC-A'
B'
C'
中,点E、F、H、K分别为AC'
、CB'
、A'
B、B'
的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B'
中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为()
A.K B.H C.G D.B
分析:
从题目中的“中点”条件,联想到“中位线”。
而平面PEF中,EF为定直线,连BC'
则F为BC'
中点
考虑到若P为K点,则还有AA'
、BB'
、CC'
都平行于FK
即它们也都平行于平面PEF,不合题意。
同理P也不能为H点,若P为B'
点时,EF与B'
A'
共面也不符合题意(这时只有一条棱平行于平面PEF),可见只能取G点。
故选C
例7.
置;
若不存在,说明理由。
置;
(1)(用反证法)
∴不存在点P满足题目条件
(2)过B作BH⊥AP于H,连CH
即∠BHC是二面角C—AP—B的平面角
∴∠BAH=30°
下面求Q点的位置。
(四)对命题结论的探索
例8.
并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是()
从条件AP⊥BD1出发,可知AP必在过A点且与BD1垂直的平面B1AC上
∴点P必在B1C上
(2)如图,斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°
,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线CA上 D.△ABC内部
连结AC1
∵AC⊥AB,又AC⊥BC1
∴AC⊥面ABC1
则C在面ABC上的射影必在交线AB上
例9.在四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且AB=BC=1。
平面CBD⊥平面ABD;
(2)是否存在这样的四面体,使二面角C—AD—B的平面角为30°
?
如果存在,求出CD的长;
如果不存在,请找出一个角θ,使得存在这样的四面体,使二面角C—AD—B的平面角为θ。
(1)∵AB⊥BC,AB⊥BD
∴面ABD⊥面CBD
(2)设CD=x,在面CBD内作CE⊥BD于E
由
(1)知平面ABD⊥面BCD,且BD为交线
∴CE⊥平面ABD
作EF⊥AD于F,连结CF,则CF⊥AD
∴∠CFE为“二面角”C—AD—B的平面角,且∠CFE=30°
又在Rt△BCD中,CE·
BD=CB·
CD
又∵CD⊥BC,又BC为AC在面BCD上射影
∴CD⊥AC
则在Rt△ACD中,CF·
AD=AC·
故不存在这样的四面体,使二面角C—AD—B的平面角为30°
故θ可以取45°
~90°
之间的任意角。
本题是一道存在性
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中 立体 几何 证明 方法 例题