九年级下册《圆》知识点总结Word文件下载.doc
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顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。
如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
2.圆的对称性
(1)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
(2)垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在⊙中,∵∥∴弧弧
3.圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
即:
①;
②;
③;
④弧弧
上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
4.圆周角
(1)圆周角:
顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。
(2)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°
(直角)。
90°
的圆周角所对的弦是圆的直径。
(3)同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;
相等的圆周角所对的弧相等。
(5)若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
在△中,∵
∴△是直角三角形或
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
5.点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点圆心O的距离为d,则
(1)点在圆外
(2)点在圆上
(3)点在圆内
6.
(1)过一点可以画无数个圆;
过两点可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上;
过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
(2)三角形的外接圆:
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。
(3)一个三角形的外接圆是唯一的。
7.直线与圆的位置关系
(1)如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离。
(2)如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切。
此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.
(3)如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线.
如上图,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出:
若直线l与⊙O相离;
若直线l与⊙O相切;
若直线l与⊙O相交;
8.切线
(1)判定定理:
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
∵且过半径外端∴是⊙的切线
证明切线常用的方法:
1.连半径,证垂直;
2.作垂直,证半径。
(2)性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径。
①过圆心;
②过切点;
③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
(3)切线长:
切线上某一点与切点之间的线段的长.
性质:
从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
∵、是的两条切线∴,平分.
(4)三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。
三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
这个三角形叫做这个圆的外切三角形,三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。
9.圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补.
在⊙中,∵四边形是内接四边形
∴
10.圆和圆的位置关系
1)两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中
(1)又叫做外离,
(2)、(3)又叫做内含。
(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。
2)如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切。
3)如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如(6)所示。
(1)两圆外离;
(2)两圆外切;
(3)两圆外离;
(4)两圆外离;
(5)两圆外离
11.圆内正多边形的计算
(1)正三角形在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:
;
(2)正四边形:
(3)正六边形.
12.圆中的计算问题
(1)弧长的计算公式为:
(2)扇形:
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
扇形面积的计算公式:
:
圆心角:
扇形多对应的圆的半径:
扇形弧长:
扇形面积
(3)圆锥的母线:
把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的高:
连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
(4)圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,
即S=ra
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.
即=
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