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(2)=,若其是中的项,则,
令,则=,
所以为8的约数.因为是奇数,所以可取的值为,
当,即时,;
当,即时,(舍去).
所以满足条件的正整数.
【注】不仅可以利用整除性质解决,也可利用奇偶性分析.
3.(南通市2013届高三期末)已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且.
(1)求a1;
(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<
p<
q),使b1,bp,bq成等比数列?
若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);
若不存在,说明理由.
(1)令n=1,则a1=S1==0.
(2)由,即,①
得.②
②-①,得.③
于是,.④
③+④,得,即.
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,
所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.
所以,an=n-1.
(3)解法1:
假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于是,.
时,<
0,故数列{}()为递减数列,
0,故数列{}()为递减数列,
,,即时,
又当时,,故无正整数q使得成立.
解法2:
同上有,,且数列{}()为递减数列,
当时,成立;
当时,,
因此,由得,,此时
【注】在利用“范围”控制正整数的值时,常用求值域的方法:
单调性.本例蕴含分类讨论思想.
题组二
1.已知各项均为正数的等比数列的公比为,且.在数列中是否存在三项,使其成等差数列?
说明理由.
【解析】由知,数列是递减数列,
假设存在成等差数列,不妨设,则,即即
而,,故矛盾.
因此在数列中不存在三项成等差数列.
【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在.
2.(2010年湖北理)已知数列满足:
,,数列满足:
.
(1)求数列,的通项公式;
(2)证明:
数列中的任意三项不可能成等差数列.
(1)由题意可知,令 ,则
又,则数列是首项为,公比为的等比数列,即
,故,又,
故,.
(2)假设数列存在三项按某种顺序成等差数列,由于数列是首项为,公比为的等比数列,于是有,则只有可能有成立
,即
由于,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾.
因此数列中任意三项不可能成等差数列.
【注】此题为上例的补充,方法上有区别,在不便利用范围寻找矛盾时,如何考虑式子的变形呢?
首先考虑将分数整数化,然后利用奇偶性寻找矛盾.
3.(2007福建理22)等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项与前项和;
(2)设,求证:
数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
(1)由已知得,,
故.
(2)由
(1)得.
假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.
即.
,
.
与矛盾.
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.
【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾.
课堂小结
数列中的一类存在性问题不定方程的正整数解问题
存在有(正整数)解
不存在无(正整数)解
(1)整除性
(2)奇偶性
(3)范围
(1)范围
(3)有理数性质
课本溯源
(选修2-2教材P84第9题)证明:
1,,3不可能是一个等差数列中的三项.
选编说明
数列是高中数学的核心概念之一,在高考中占有重要的地位,其在历年高考解答题中基本居压轴题位置.江苏省08、09年高考中数列解答题都考查了数列中一类存在性问题,此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题,往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体,蕴含了丰富的数学思想,在近年省内各市模拟卷中常有出现.通过对数列中一类存在性问题的研究,让学生加深对数列概念的理解,学会此类问题的常用处理策略,提升分析、转化、解决问题的能力.
课后巩固:
1.(2011高淳高级中学19)公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+,S3=12+.
(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn;
(2)记bn=an-,若自然数满足,并且成等比数列,其中,求(用k表示);
(3)记cn=,试问:
在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?
若存在,求出此三项;
若不存在,请说明理由.
【分析】子数列的问题,抓住同一项的双重性,建立等量关系.
【解答】
(1),,
所以,
(2)由题意,,首项,又数列的公比
,又,
(3)易知,假设存在三项成等比数列,则,
即,
整理得…12分
且,,解得,这与矛盾.
综上所述,不存在满足题意的三项
【反思】在反证法中利用有理数的性质,产生矛盾,也是数列问题中常见的方法.
2.(2008江苏19)
(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当时,求的数值;
(ii)求的所有可能值.
(2)求证:
对于给定的正整数(),存在一个各项及公差均不为零的等差数列,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
【分析】从等差数列中抽取一些项,成为等比数列,应该用好基本量的方法,从方程中看端倪.
(1)①当n=4时,中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.
若删去,则,即化简得,得
若删去,则,即化简得,得
综上,得或.
②当n=5时,中同样不可能删去,否则出现连续三项.
若删去,则,即化简得,因为,所以不能删去;
当n≥6时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列中,由于不能删去首项或末项,若删去,则必有,这与矛盾;
同样若删去也有,这与矛盾;
若删去中任意一个,则必有,这与矛盾.(或者说:
当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)
综上所述,.
(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列,其中()为任意三项成等比数列,则,即,化简得(*)
由知,与同时为0或同时不为0
当与同时为0时,有与题设矛盾.
故与同时不为0,所以由(*)得
因为,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数.
于是,对于任意的正整数,只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列.
例如n项数列1,,,……,满足要求.
【反思】第3问要看懂题意,只要找到一个满足条件的数列即可.
3.(2012届苏北四市一模)设数列的前n项和为,已知为常数,),且
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数,使成立?
若存在,求出所有符合条件的有序实数对;
若不存在,说明理由.
解:
⑴由题意,知即解之得
⑵由⑴知,,①
当时,,②
①②得,,
又,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,
所以.
⑶由⑵得,,由,得
,即,
即(常数分离),即,因为,所以,所以,且,
因为,所以或或.
当时,由得,,所以;
当时,由得,,所以或;
当时,由得,,所以或或,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对为:
4.(2012届南京市二模)已知数列满足:
(1)求数列的通项公式;
(2)当时,是否存在互不相同的正整数,使得成等比数列?
若存在,给出满足的条件;
若不存在,说明理由;
(3)设为数列的前n项和.若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围.
当时,由①
得②
①-②得,所以()
因为,所以()
(2)当时,
若存在成等比数列,则
由奇偶性知
所以,即,这与矛盾.
故不存在互不相同的正整数,使得成等比数列
(3)
5.(连云港市2013届高三期末)已知数列{an}中,a2=a(a为非零常数),其前n项和Sn满足Sn=(nN*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a=2,且,求m、n的值;
(3)是否存在实数a、b,使得对任意正整数p,数列{an}中满足的最大项恰为第3p-2项?
若存在,分别求出a与b的取值范围;
(1)由已知,得a1=S1==0,Sn=,
则有Sn+1=,2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,
即(n-1)an+1=nan,nan+2=(n+1)an+1,两式相加,得2an+1=an+2+an,nN*,
即an+1-an+1=an+1-an,nN*,故数列{an}是等差数列.
又a1=0,a2=a,an=(n-1)a.
(2)若a=2,则an=2(n-1),Sn=n(n1).
由,得n2n+11=(m1)2,即4(m1)2-(2n1)2=43,
(2m+2n3)(2m-2n1)=43.
∵43是质数,2m+2n3>
2m2n1,2m+2n3>
0,
解得m=12,n=11.
(3)由an+bp,得a(n-1)+bp.
若a<
0,则n+1,不合题意,舍去;
若a>
0,则n+1.
∵不等式an+bp成立的最大正整数解为3p-2,
3p-2+1<
3p-1,
即2a-b<
(3a-1)p3a-b对任意正整数p都成立.
3a-1=0,解得a=,
此时,-b<
01-b,解得<
b1.
故存在实数a、b满足条件,a与b的取值范围是a=,<
6.(徐州市2013届高三期末)已知且令且对任意正整数,当时,当时,
(2)若对任意的正整数,恒成立,问是否存在使得为等比数列?
若存在,求出满足的条件;
(3)若对任意的正整数且求数列的通项公式.
(1)当时,且,
又当时,且,
,
又,故数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,.
(2)因为,所以,所以,
,
假设存在,,使得为等比数列,则,,,
故,化简得,与题中矛盾,
故不存在,使得为等比数列.
(3)因为,所以.
又,所以,
由
(1)知,,所以.
,
所以,
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