数学初三上学期期末复习文档格式.docx
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三角形角平分线的性质定理
三角形的三条角平分线交于一点,这点到三角形三边的距离相等。
▲知识点5:
一个内角为30°
的直角三角形中的定理
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定
平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分。
矩形的性质
(1)矩形的4个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等。
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
菱形的性质
(1)菱形的4条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(3)当a,b分别表示两条对角线的长时,菱形的面积S=ab。
正方形的性质
(1)正方形的4个角都是直角,4条边都相等;
(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
▲知识点6:
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
▲知识点7:
平行四边形的判定
方法1:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
方法3:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
方法4:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
▲知识点8:
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
有3个角是直角的四边形是矩形。
▲知识点9:
菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4边都相等的四边形是菱形。
▲知识点10:
正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
▲知识点11:
反证法
在证明时,不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立,而是先提出与结论相反
的假设,然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,
这种证明的方法称为反证法。
运用反证法证明命题的一般步骤:
(1)提出与结论相反的假设;
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确。
1.4等腰梯形的性质和判定
等腰梯形的判定
1.两腰相等的梯形是等腰梯形。
(定义)
2.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
等腰梯形的性质
1.等腰梯形的两腰相等,两底平行。
2.等腰梯形同一底上的两底角相等。
3.等腰梯形的两条对角线相等。
解决梯形问题的基本思路
梯形问题三角形或平行四边形问题
1.5中位线
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
注:
(1)已知条件中有中点,常取另一边中点,构造三角形或梯形中位线,运用三角形
或梯形中位线的性质说明某些线段相等或角相等。
(2)顺次连接任意四边形各边的中点所得到的四边形是平行四边形;
如果原四边形对角线相等,则得到的四边形是菱形;
如果原四边形对角线互相垂直,则得到的四边形是矩形;
如果原四边形对角线互相垂直且相等,则得到的四边形是正方形。
2.1极差
▲知识点:
极差
1.定义:
一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范围,我们就把这
样的差叫做极差。
2.公式:
极差=最大值-最小值。
3.特征:
通常,一组数据的极差越小,这组数据的波动幅度也越小。
(1)极差反映了一组数据的波动范围,是刻画数据离散程度的最简单的统计量。
(2)极差的单位与原数据的单位一致。
2.2&
2.3方差与标准差
方差的概念和计算
在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2,
(x2-)2,…,(xn-)2,我们用它们的平均数,即
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
来描述这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差,记作s2。
方差的单位是原数据单位的平方。
标准差的概念和计算
通常,我们也用方差的算术平方根,即s=
来描述一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差,记作s。
注:
标准差的单位与原数据的单位是一致的。
方差和标准差的意义
方差和标准差是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况。
通常,一组数据的方差或标准差越小,这组数据的离散程度或波动越小,这组数据就越稳定。
平均数、众数、中位数是反映一组数据集中趋势的统计量,极差、方差和标准差是衡量
一组数据离散程度的统计量。
了解这些数量的统计意义,初步理解统计学的思想方法。
3.1二次根式
二次根式的定义
一般地,式子(a≥0)叫做二次根式,a叫做被开方数。
(1)被开方数a可以是数字,也可以是单项式或多项式,但a必须是非负数。
(2)≥0(a≥0),即一个非负数的算术平方根仍是一个非负数。
(3)如果几个非负数的和为零,则每个非负数都为零。
二次根式的性质1
()2=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
二次根式的性质2
=|a|=
a(a≥0),
-a(a<0),即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
(1)中的a的取值范围是任意实数,即无论a取什么数,都有意义。
(2)在化简时,先将它化简成|a|,再根据绝对值的意义进行化简,一定要
弄清a是正数、零还是负数。
与()2的异同点
不同点:
()2中的a必须取非负数,才有意义;
中的a可以取任意实数。
相同点:
当a为非负数时,=()2=a。
3.2二次根式的乘除
二次根式的乘法法则
·
=(a≥0,b≥0)。
积的算术平方根的性质
=·
(a≥0,b≥0),利用这个性质可以化简一些二次根式。
二次根式的除法法则
=(a≥0,b>0)。
二次根式商的算术平方根的性质
=(a≥0,b>0),利用这个性质可以化简一些二次根式。
如果被开方数是带分数,应先化成假分数。
二次根式的化简
(1)把被开方数中的分母化去
====(a≥0,b>0)
(2)把分母中的根号化去
==(a≥0,b>0)
注意:
一般地,二次根式运算的结果中
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号。
3.3二次根式的加减
同类二次根式
经过化简后,被开方数相同的二次根式,称为同类二次根式。
判断同类二次根式,必须先化为最简二次根式,再看被开方数是否相同。
二次根式的加减
一般地,二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式。
注意:
合并同类二次根式,即把根式的系数相加减,根指数与被开方数不变。
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
化简
先运算再化简
先化简再运算
二次根式的混合运算
1.运算顺序与整式相同:
先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号内的。
2.在进行二次根式的混合运算时,整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。
3.二次根式混合运算的结果应写成最简形式。
(1)(++)=·
+·
(2)(+)(+)=·
(3)(+)(-)=()2-()2=a-b
(4)(±
)2=a+b±
2
(5)(+)÷
(-)===
4.1一元二次方程
一元二次方程的定义
经过化简后的整式方程,如果只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,这样的方
程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项,a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。
注意要包含前面的符号,如:
4x2-3x-2=0,二次项为4x2,二次项系数为4,一次项为-3x,一次项系数为-3,常数项为-2。
4.2一元二次方程的解法
直接开平方法
如果一个一元二次方程具有(x+h)2=k(k≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求
解,x=-h±
配方法
先把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k的形式(其中h,k都是常数),如果k≥0,
再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
(1)配方法的理论依据是完全平方公式a2±
2ab+b2=(a±
b)2。
(2)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤:
①移项:
把常数项移到方程的右边;
②把二次项系数化为1:
方程左右两边同时除以二次项系数;
③配方:
方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把原方程写成(x+h)2=k的形式;
⑤当k≥0时,用直接开平方法求出方程的解。
公式法
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是
x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式解一元二次
方程的方法叫做公式法。
若b2-4ac<0,则方程无实数根。
用公式法解一元二次方程,先要把方程化成一般形式,才能确定a,b,c的值。
一元二次方程的根的判别式
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根。
因式分解法
如果一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积,那么这样的
一元二次方程就可以用因式分解法求解。
因式分解法的依据是两个因式的乘积等于0,这两个因式中至少
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