均值不等式及其证明Word文件下载.docx
- 文档编号:15210065
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:4
- 大小:106.61KB
均值不等式及其证明Word文件下载.docx
《均值不等式及其证明Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《均值不等式及其证明Word文件下载.docx(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
几何平均值记为
。
算术平均值及几何平均值之间有如下关系。
,
即,
当且仅当时,等号成立。
上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。
平均值不等式表达形式简单,容易记住,但它证明和应用非常灵活、广泛,有多种不同方法。
为使大家理解和掌握,这里我们选择了其中几种典型证明方法。
供大家参考学习。
1.2平均值不等式证明
证法一(归纳法)
(1)当时,已知结论成立。
(2)假设对(正整数)时命题成立,即对有
。
那么,当时,由于
,,
关于是对称,任意对调及,和值不改变,因此不妨设,
显然,以及可得
.
所以
即两边乘以,得
从而,有
证法二(归纳法)
证法三(归纳法)
证法四(归纳法和变换)
证法五(利用排序不等式)
设两个实数组和满足
,
则(同序乘积之和)
(乱序乘积之和)
(反序乘积之和)
其中是一个排列,并且等号同时成立充分必要条件是或成立。
证明:
切比雪夫不等式(利用排序不等式证明)
杨森不等式()设则对有
等号成立充分必要条件是。
琴生不等式()
设为上凸(或下凹)函数,则对任意
,我们都有
或
其中
习题一
1.设。
求证:
对一切正整数,有
2.设求证:
3.设为正实数,证明:
4.设,求证:
5.设,且,求证:
6.设,满足,求证:
7.设是非负实数,满足,求证:
8.设为给定自然数,,对于个给定实数
记最小值为,求在条件下,最大值。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 均值 不等式 及其 证明