均值不等式的证明精选多篇.docx
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均值不等式的证明精选多篇
均值不等式的证明(精选多篇)
常用均值不等式及证明证明
这四种平均数满足hn?
gn?
an?
qn
?
、ana1、a2、
?
r?
,当且仅当a1?
a2?
?
?
an时取“=”号
仅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d
(1)≤d
(2)由以上简化,有一个简单结论,中学常用
均值不等式的变形:
(1)对实数a,b,有a
2
22
?
b2?
2ab(当且仅当a=b时取“=”号),a,b?
0?
2ab
(4)对实数a,b,有
a?
a-b?
?
b?
a-b?
a2?
b2?
2ab?
0
(5)对非负实数a,b,有
(8)对实数a,b,c,有
a2?
b2?
c2?
ab?
bc?
ac
a?
b?
c?
abc(10)对实数a,b,c,有
均值不等式的证明:
方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
引理:
设a≥0,b≥0,则?
a?
b?
?
an?
na?
n-1?
b
n
注:
引理的正确性较明显,条件a≥0,b≥0可以弱化为a≥0
,a+b≥0(用数学归纳法)。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立,即
那么当n=k+1时,不妨设ak?
1是则设
a1,a2,?
ak?
1中最大者,
kak?
1?
a1?
a2?
?
?
ak?
1s?
a1?
a2?
?
?
ak
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法琴生不等式法
琴生不等式:
上凸函数f?
x?
x1,x2,?
xn是函数f?
x?
在区间(a,b)内的任意n个点,
设f?
x?
?
lnx,f
?
x?
为上凸增函数所以,
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)
均值不等式证明
一、
已知x,y为正实数,且x+y=1求证
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
当且仅当xy=1/xy时取等
也就是xy=1时
画出xy+1/xy图像得
01时,单调增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得证
继续追问:
拜托,用单调性谁不会,让你用均值定理来证
补充回答:
我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的
法二:
证xy+1/xy≥17/4
即证4(xy)?
-17xy+4≥0
即证(4xy-1)(xy-4)≥0
即证xy≥4,xy≤1/4
而x,y∈r+,x+y=1
显然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4,得证
法三:
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4x?
y?
-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
试问怎样叫“利用均值不等式证明”,是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?
!
二、
已知a>b>c,求证:
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即:
1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、调和平均数:
hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数:
gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数:
an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数:
qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn的式子即为均值不等式。
概念:
1、调和平均数:
hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数:
gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数:
an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数:
qn=√
这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、…、an∈r+,当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号
均值不等式的一般形式:
设函数d(r)=^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))
则有:
当r注意到hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d
(1)≤d
(2)
由以上简化,有一个简单结论,中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√
方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
引理:
设a≥0,b≥0,则(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。
注:
引理的正确性较明显,条件a≥0,b≥0可以弱化为a≥0,a+b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于:
((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立,即
((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。
那么当n=k+1时,不妨设a(k+1)是a1,a2,…,a(k+1)中最大者,则
ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak,
{/(k+1)}^(k+1)
={s/k+/}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理
=(s/k)^k*a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式:
上凸函数f(x),x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点,
则有:
f≥1/n*
设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数
所以,ln≥1/n*=ln
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。
均值不等式的证明
设a1,a2,a3...(更多精彩文章请关注)an是n个正实数,求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程,谢谢!
!
!
!
你会用到均值不等式推广的证明,估计是搞竞赛的把
对n做反向数学归纳法
首先
归纳n=2^k的情况
k=1。
。
。
k成立k+1。
。
。
这些都很简单的用a+b>=√(ab)可以证明得到
关键是下面的反向数学归纳法
如果n成立对n-1,
你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)
然后代到已经成立的n的式子里,下就可以得到n-1也成立。
所以得证
n=2^k中k是什么范围
k是正整数
第一步先去归纳2,4,8,16,32...这种2的k次方的数
一般的数学归纳法是知道n成立时,去证明比n大的时候也成立。
而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下,对比n小的数进行归纳,
指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”
我记得好像有两种几何证法,一种三角证法,一种代数证法。
请赐教!
sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
证明:
1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n
两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n
(1)如果你知道柯西不等式的一个变式,直接代入就可以了:
柯西不等式变式:
a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立
只要令b1=b2=...=bn=1,代入即可
(2)柯西不等式
(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2
2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)
(1)琴生不等式:
若f(x)在定义域内是凸函数,则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)
令f(x)=lgx显然,lgx在定义域内是凸函数
nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥
f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an
也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
f(x)在定义域内单调递增,所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)
(2)原不等式即证:
a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0
2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an
=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...
≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an
即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an
(3)数学归纳法:
但要用到(1+x)^n>1+nx这个不等式,不予介绍
3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
原不等式即证:
n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n
左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号
由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号
(1)=n
所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)
证毕
特例:
sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b
证明:
1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2两边平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即证(a/2-b/2)^2≥0显然成立
2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立
此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分,(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦,而r≥弦的一半
3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2
而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。
一、均值不等式
(一)概念:
柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong(数学之家)
本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法,这种方法极其重要。
一般的均值不等式我们通常考虑的是an?
gn:
一些大家都知道的条件我就不写了
x1?
x2?
...?
xn
n
?
x1x2...xn
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法,现在再次提出:
二维已证,四维时:
a?
b?
c?
d?
(a?
b)?
(c?
d)?
2ab?
2cd?
4八维时:
(a?
b?
c?
d)?
(e?
f?
g?
h)?
4abcd?
4efgh?
8abcdefgh
abcd
?
4abcd
这样的步骤重复n次之后将会得到
x1?
x2?
...?
x2n
2
n
?
2
n
x1x2...x2n
令x1?
x1,...,xn?
xn;xn?
1?
xn?
2?
...?
x2?
n
x1?
x2?
...?
xn
n
?
a
由这个不等式有
a?
na?
(2?
n)a
2
nn
?
2
n
x1x2..xna
2?
n
n
?
(x1x2..xn)2a
n
1?
n2
n
即得到
x1?
x2?
...?
xn
n
?
n
x1x2...xn
这个归纳法的证明是柯西首次使用的,而且极其重要,下面给出几个竞赛题的例子:
例1:
n
若0?
ai?
1(i?
1,2,...,n)证明?
i?
1
11?
ai
?
n
1?
(a1a2...an)n
例2:
n
若ri?
1(i?
1,2,...,n)证明?
i?
1
1ri?
1
?
n
1?
(r1r2...rn)n
这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果,方法正是运用柯西的归纳法:
给出例1的证明:
当n?
2时11?
a1
?
11?
a2
?
?
(1?
?
a1?
a2)?
2(1?
a1)(1?
a2)
设p?
a1?
a2,q?
?
(1?
q)(2?
p)?
2(1?
p?
q)
?
p?
2q?
pq?
2q?
p(1?
q)?
2q(q?
1)?
p?
2q,而这是2元均值不等式因此11?
a1?
?
11?
a22
n
?
11?
a3
?
11?
a4
?
?
此过程进行下去
n
?
因此?
i?
1
1?
ai
1?
(a1a2...a2n)2
n
令an?
1?
an?
2?
...?
a2n?
(a1a2...an)n?
g
n
有?
i?
1n
11?
ai
11?
ai
?
(2?
n)
n
11?
g
?
n
n2?
n
n
?
n
1?
(gg
?
n1?
g
n
)
n
1?
g
即?
i?
1
例3:
已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都?
1(1?
i?
n),记r?
t?
n
1n
n
?
r,s
ii
?
1n
n
?
s
i
i
1n
n
?
t,u
ii
?
1n
n
?
u
i
i
v?
1n
n
?
v,求证下述不等式成立:
ii
?
i?
1
(
risitiuivi?
1risitiuivi?
1
)?
(
rstuv?
1rstuv?
1
)
n
要证明这题,其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
其实由均值不等式,以及函数f(x)?
ln因此
e?
1e?
1
x
x
是在r上单调递减
rstuv?
?
(
rstuv?
1rstuv?
1
)?
n
我们要证明:
n
?
(rstuv
i?
1
iii
i
risitiuivi?
1
i
?
1
)?
证明以下引理:
n
?
(x
i?
1
xi?
1
i
x2?
1x2?
1
n
?
1
)?
n?
2时,?
(令a?
x1?
1x1?
1
)(
)?
2
?
a(x1x2?
1?
x1?
x2)?
(x1?
x2?
1?
x1x2)
?
2a(x1x2?
x1?
x2?
1)?
a(x1x2?
1?
x1?
x2)?
(1?
x1x2?
x1?
x2)?
2a(x1x2?
1?
x1?
x2)
?
(a?
1)(x1x2?
1)?
2a(x1x2?
1)显然成立
2?
n
n
n
因
此?
(
i?
1
xi?
1xi?
1
n
)?
(
g?
1g?
1
)
2?
n
n
?
(
gggg
n
n
n
n
?
1?
1
2?
n2
n
),g?
n
?
(
g?
1g?
1
n
)
因此?
(
i?
1
xi?
1xi?
1
n
)?
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大,用同样方法可以证明jensen:
f(x1)?
f(x2)
?
f(
x1?
x2
),则四维:
f(x1)?
f(x2)?
f(x3)?
f(x4)?
2f(
x1?
x2
)?
2f(
x3?
x4
)?
4f(
x1?
x2?
x3?
x4
)
一直进行n次有
f(x1)?
f(x2)?
...?
f(x2n)
n
?
f(
x1?
x2?
...?
x2n
n
),
令x1?
x1,...,xn?
xn;xn?
1?
xn?
2?
...?
x2?
n
x1?
x2?
...?
xn
n
n
?
a
有
f(x1)?
...?
f(xn)?
(2?
n)f(a)
n
n
?
f(
na?
(2?
n)a
n
)?
f(a)
所以得到
f(x1)?
f(x2)?
...?
f(xn)
n
?
f(
x1?
x2?
...?
xn
n
)
所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明
而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少
其实从上面的看到,对于形式相同的不等式,都可以运用归纳法证明
这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件
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