基本不等式均值不等式技巧.docx
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基本不等式均值不等式技巧.docx
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基本不等式均值不等式技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧
【基本知识】
22
R,则ab?
L(当且仅当a
2
时取“二”)
2.⑴若a,b
R*,则心ab
(2)若a,b
2
R*,则ab2.ab(当且仅当a
时取“=”)
号成立;
(当且仅当ab时取“=”)
2
“=”号成立.
【技巧讲解】
技巧一:
凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)
51
1:
已知X,求函数y4x2的最大值。
44x5
2.当•时,求yx(82x)的最大值。
3
3:
设Ox,求函数y4x(32x)的最大值。
2
1
4、求函数yx2(x1)的最小值。
2(x1)2
5已知x0,y°,且满足3x2y12,求Xigy的最大值.
6已知x,y为正实数,且x2+y2=1,求x'1+y2的最大值.
7若a,b,c°且a(abc)be42.',求2abc的最小值
技巧一答案:
2解析:
由_■--■■-知,:
亠〔[,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2x(82x)8为定值,故只需将
yx(82x)凑上一个系数即可。
当-…,即卩x=2时取等号当x=2时,yx(82x)的最大值为8。
评注:
本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不
3、解:
•••°x
—32x°y
2
4x(32x)22x(32x)2
2
2x32x
2
等式求最大值。
Q3时等号成立。
2
4解析:
评析:
利用均值不等式求几个正数和的最小值时,
积为常数。
通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
5、分析lgxlgylg(xy),xy是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式Xy是否
3x2y
定值,而已知是3x与2y的和为定值12,故应先配系数,即将xy变形为6,再用均
当且仅当3x2y,即
x2,y
3时,等号成立•所以lgxlgy的最大值是lg6.
值不等式.
lg6
6分析:
因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式
x.1+y2=x
2・号2”2
3
4
同时还应化简詁1+y2中y2前面的系数为
7分析初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用
即x1+y2
.2x
2+专三
ab2ab+b来解决.换个思
1解析一:
本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(分离。
x+1)的项,再将其
巴丄莎FEZ4
"1x+1*'
丿|■■'时,y2、(x1)
2、解:
可将上式转化为
4
459(当且仅当
x1
(x+1)
x=1时取“=”号)。
y
[(x1)-1][1+2(x+1-1)]
(x+1)
2(x+1)-3(x1)+1
当x>-1时,x+1>0
1一+2(1+x)2-2此时y
(x+1)
当x<-1时,-(x+1)>0
AA_
一+2(1+x)=-(一+2(-1-x))-2.2,此时y(x+1)(-x-1
1
丙+2(1+x)-3
1
2.2-3
所以值域为:
11
(-,][-,+)
2、2-32、2+3
2「2+3
技巧三:
换元
2
、x7x10“士「亠
1、求y(x1)的值域。
x1
Jx2
y
2、求函数2x5的最大值.
用不等式求最值。
即化为ymg(x)
然后运用基本不等式来求最值。
B(A0,B
0),g(x)恒正或恒负的形式,
2
4、已知x,y为正实数,且x2+y2=1,求x「+厂2的最大值.
参考答案:
2分析可先令x2t,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决•
所以x3时,取最大值为二2.
令
8
x
・2sinx
则有
x
8
・2sin
x
丄
2
cosx
y
1
y
2
cos
x
x2y
8
2
8csc2x
c2
2secx
8(1
・2
2
sinx
cosx
2222
cotx)2(1tanx)108cotx2tanx
3、解法三:
(三角换元法)
24
102(8cot2x)(2tan2x)18,易求得x12,此时y3时“二”号成立,故最小值
是18
技巧四:
消元(转化为函数最值,此时要注意确定变量的范围)
1、已知正数x、y满足xy,求x2y的最小值。
1
2、已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=不的最小值•
2
y_
3、设x,y,z为正实数,x2y3z°,则xz的最小值是•
1解法:
(消元法)
丄81」/曰x丄
由1得y,由
xyx8
16
当且仅当x8代即x12,此时y
3时“=”号成立,故此函数最小值是
a=
30—2b
b+1
30—2b
ab=b+1
—2b2+30b
b+1
18。
2x2(x8)1616
x2yxxx2-
y
0
x
0又x
0
x
8
则
x8
16
Jz
16
(x
8)
1610
2(x
8)
10
18
x8
x8
x8x8x8
t=b+1,1vtv16,ab=
—2t2+34t—31
t
由a>0得,0vbv15
1616/__
=—2(t+7)+34Vt+Y>2.t•7
ab<18
1
•••y>当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
18
x3zy
y—
3分析本题也是三元式的最值问题•由题意得2,则可对xz进行消元,
用x,z表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题•
解:
由x,z0,y勺丝,可得
y2x29z26xz6xz6xz
=3,
xz4xz4xz
当且仅当x3z,即xy,z1时,取“=”.
3
2
故乞的最小值为3.
xz
技巧五:
整体代换(条件不等式)
19
1:
已知x0,y0,且1,求xy的最小值。
xy
8
2、已知正数x、y满足—
x
错因:
解法中两次连用基本不等式,
y2xy等号成立条件是xy,在
Xymin12。
—19
192-等号成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,
xy■.xyxy
在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否
有误的一种方法。
正解:
Q
x
0,y
c19彳
0,1,x
y
x
1y-
9
y9x
1061016
xy
x
y
xy
当且仅当
y
9x
1
9
1,
J
x
y
时,上式等号成立,
又_
x
y
可得
x4,y
12时,xymin16。
变式:
(1)
若x,yR且2x
y
1,
求丄
1白
勺最小值
x
y
(2)
i已知
a,b,x,yR且
ab
1
,求
x
y的最小值
xy
2、解法:
(利用均值不等式)
:
8丄1
x2y(8$(x2y)10仝型102x16y18,当且仅当xy
xyyxVyxx16y
yx
即x12,y3时“=”号成立,故此函数最小值是18。
技巧六:
转化为不等式
1
1.已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=£的最小值•
2、已知正数xy满足xyxy3,试求xy、xy的范围。
1解:
由已知得:
30-ab=a+2b•/a+2b>22ab/•30—ab>22ab
令u=,ab则u2+22u—30W0,—52
•••abw3.2,abw18,「.y>秸
点评:
①本题考查不等式
abab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力;②
2
R)出发求得ab的范围,关键是寻找到
如何由已知不等式aba2b30(a,b
1解法:
由x0,y0,则xyxy3xy3xy2xy,即(、xy)22xy30解得、.一刃1(舍)或;xy3,当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号,
故xy的取值范围是[9,)。
又xy3xy(U)2(xy)24(xy)120xy2(舍)或xy6,
2
当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号,故xy的取值范围是[6,)
技巧六:
取平方
1、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=3x+2y的最值.2:
求函数y.2x—15—2x』x5)的最大值。
解法一:
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,
号 22 3x+2y<2(3x)2+(*;2y)2=2.3x+2y=2,5 解法二: 条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+23x•2y=10+23x•,2y<10+(3x)2・(2y)2=10+(3x+2y)=20 •••W—20=25 解析: 注意到2x1与52x的和为定值。 y2(12x 15 2x)24 2.(2x1)(5 2x)4 (2x1)(52x)8 又y0, 所以0 y22 当且仅当2x 1=5 2x,即x 3 -时取等号。 2 故Ymax 2、2。 评注: 本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。 注意: 在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)x-的单 x 调性。 x25 1: 求函数y的值域。 Jx24 2、若x、yR,求f(x)x 4(0x1
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