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A村B村C村北南中北南分析:
从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有32=6种不同的方法。
乘法原理:
做一件事,完成它需要分成做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步个步骤,做第一步有有m1种不同的方法,做第二步有种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,种不同的方法,做第,做第n步有步有mn种不同的方法。
那么完成这件种不同的方法。
那么完成这件事共有事共有N=m1m2mn种不同的方法。
种不同的方法。
做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第一类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法。
那麽完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法。
那麽完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。
两个原理的共同点:
不同点:
都是把一个事件分解成若干个分事件来完成;
前者分类,后者分步;
如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理;
如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理。
加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理例题例题1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法?
(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法?
(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;
第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;
所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种。
例例1书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书,下层放有本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书。
本不同的语文书。
从中任取一本,共有多少种不同的取法?
从中任取数学书与语文书各一本,共有多少种不同的取法?
解:
从书架上任取一本书,有两类办法:
第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种取法;
第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种取法。
根据加法原理,得到不同的取法的种数是:
N=m1+m2=6+5=11答:
从书架上任取一本书,有11种不同的取法。
1:
一个盒子里装有:
一个盒子里装有5个小球,另一个盒子里个小球,另一个盒子里装有装有9个小球,所有这些小球颜色不相同个小球,所有这些小球颜色不相同。
(1)从两个盒子里从两个盒子里任任取一个小球,有多少取一个小球,有多少种不同的取法?
种不同的取法?
(2)从两个盒子里从两个盒子里各各取一个球,有多少种取一个球,有多少种不同的取法?
不同的取法?
(1)5+9=14(种)(种)
(2)59=45(种)(种)答:
答:
解:
从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:
第一步取一本数学书,有6种方法;
第二步取一本语文书,有5种方法。
根据乘法原理,得到不同的取法的种数是:
N=m1m2=65=30答:
从书架上取数学书与语文书各一本,共有30种不同的取法。
例例书架上层放有书架上层放有6本不同的数学书,下层放有本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书。
(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=5种方法;
第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;
所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=54=20种。
点评点评:
解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。
“分类完成”用“加法原理”;
“分步完成”用“乘法原理”。
例例2有不同的语文书有不同的语文书9本,不同的数学书本,不同的数学书7本,不同的物理本,不同的物理书书5本,从中任取两种不同类的书,共有多少种不同的取本,从中任取两种不同类的书,共有多少种不同的取法?
法?
解解:
每次取出的两本书中:
含1本语文书和1本数学书的共有97=63种取法;
含1本数学书和1本物理书的共有75=35种取法;
含1本语文书和1本物理书的共有95=45种取法。
由加法原理得63+35+45=143答:
共有143种取法。
1、小军、小兰、小红三个小朋友排成一、小军、小兰、小红三个小朋友排成一排照相,有多少种不同的排法?
排照相,有多少种不同的排法?
2、书架上各有、书架上各有5种不同的科技书,种不同的科技书,6本本不同的故事书、不同的故事书、8本不同的英语书、如本不同的英语书、如果从中各取果从中各取1本科技书、本科技书、1本故事书和本故事书和1本英语书,那么共有多少种取法?
本英语书,那么共有多少种取法?
568=240(种)答:
种)答:
321=6(种)种)答:
例4:
四个数字四个数字3、5、6、8可以组成可以组成多少个没有重复数字的四位数?
多少个没有重复数字的四位数?
4321=24(个)(个)答:
例例:
南京与上海的动车特快车,:
南京与上海的动车特快车,中途只停靠常州、无锡、苏州三个中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站,共准备多少种不同的车票火车站,共准备多少种不同的车票?
4+3+2+1=10(种)(种)102=20(种)(种)答:
练习1书架的上层放有5本不同的数学书,中层放有6本不同的语文书,下层放有4本不同的英语书,从中任取1本书的不同取法的种数是()A.5+64=15B.1C.654=120D.3A2在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.564=120D.1C3把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.7C4火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有()种A.510B.105C.50D.以上都不对A加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理1.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?
首位数字不为0的密码数是多少?
首位数字是0的密码数又是多少?
按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成;
第一步,m1=10;
第二步,m2=10;
第三步,m2=10.根据乘法原理,共可以设置N=101010=103种三位数的密码。
答:
首位数字不为0的密码数是N=91010=9102种,首位数字是0的密码数是N=11010=102种。
由此可以看出,首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。
加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理2.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?
问:
若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种?
它们的密码种数依次是104,105,106,种。
练习1.由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字不允许重复)?
2.由数字0、1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
3.由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数?
4.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?
首位数字不为0的密码数是多少种?
首位数字是0的密码数又是多少种?
60180151000900100加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
分析1:
按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.则根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:
按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)9.1加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理点评点评:
加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;
但也不能重复、交叉;
“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。
乘法原理中的“分步”程序要正确。
“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;
若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。
在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。
在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。
加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理课堂练习课堂练习1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3211=6种。
若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢?
它们的涂色方案种数分别是0,4322=48,5433=180种等。
2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电?
AB9.1加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理解:
从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=22=
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