三、稀疏技术及稀疏向量法PPT文件格式下载.ppt
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(i=n,n-1,.,1)(32)(31)回代:
n或者前代(消元):
(33)回代:
(34)(35)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院右端的常数向量取为:
解:
形成LDU分解后因子表如下:
例例3311用因子表求解方程组AX=B。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n先做消元运算n再做回代版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n做规格化及消元运算1.2.3.版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n做回代运算1.2.3.版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院稀疏因子表的利用如对原始方程,令:
得到同解方程:
相应因子表(LDU)是稀疏的:
相当于优化编号版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院求解:
LDU因子表:
以上完成全部消去以上完成全部回代版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院从例子中看出n当线性方程组的稀疏性得到充分应用时n形成因子表过程中减少了计算量n更重要的是减少了求解方程组时前代和回代的计算量版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n电力网络特点决定了电网计算中的矩阵及矢量是稀疏的n对mn阶矩阵A的稀疏度定义:
对稀疏矩阵二、稀疏技术二、稀疏技术1111、概述、概述、概述、概述n如对节点导纳矩阵,如果每个节点的出线度是,则则对对N维导纳维导纳阵版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n稀疏技术针对稀疏矩阵及稀疏矢量,进行排零存储及排零计算nW.F.Tinney版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院2.2.2.2.稀疏技术稀疏技术稀疏技术稀疏技术n对mn阶稀疏矩阵A,其非零元素共有个,令aij是A中第i行第j列非零元素。
可以定义三个数组,按下面的存储格式存储矩阵A中非零元素的信息:
nVA存储A中非零元素aij的值,共个nIA存储A中非零元素aij的行指标i,共个nJA存储A中非零元素aij的列指标j,共个2.1.1散居格式2.12.1稀疏存储稀疏存储稀疏存储稀疏存储n总共需要3个存储单元n优点:
A中非零元在数组中的位置可任意排列,修改灵活。
n缺点:
其存储顺序无一定规律,检索起来不方便。
最差的可能性要在整个数组中查找一遍。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n如查找第i行的非零元素n在VA中取出从kIA(i)到IA(i1)1共IA(i1)IA(i)个非零元就是A中第i行的全部非零元n非零元的值是VA(k),列号JA(k)2.1.2按行(列)存储格式n按行(列)顺序依次存储A中的非零元,同一行(列)元素依次排在一起。
n以按行为例,其存储格式是:
nVA按行存储矩阵A中非零元aij,共个;
nJA按行存储矩阵A中非零元的列号,共个;
nIA记录A中每行第一个非零元素在VA中的位置,共m个。
n如查找第i行第j列的元素aij在VA中的位置n对k从IA(i)到IA(i1)1,判断列号JA(k)是否等于j,如等,VA(k)就是要的非零元aij版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院nU存A的上三角部分的非零元的值,按行依次存储nJU存A的上三角部分的非零元的列号nIU存A中上三角部分每行第一个非零元在U中的位置(首地址)nL按列存储A中下三角非零元素的值nIL按列存储A中下三角非零元素的行号nJL存储A的下三角部分每列第一个非零元在L中的位置(首地址)nD存储A的对角元素的值,其检索下标不需要存储2.1.3三角检索存储格式n特别适用于稀疏矩阵的三角分解。
有几种不同的存储格式。
n以按行存储A的上三角部分非零元按列存A的下三角部分非零元存储格式为例来说明。
令A是nn阶方阵:
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院nU存A的上三角部分的非零元的值,按行依次存储nJU存A的上三角部分的非零元的列号nIU存A中上三角部分每行第一个非零元在U中的位置(首地址)nL按列存储A中下三角非零元素的值nIL按列存储A中下三角非零元素的行号nJL存储A的下三角部分每列第一个非零元在L中的位置(首地址)nD存储A的对角元素的值,其检索下标不需要存储三角检索存储格式示例版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院nIU(3)为4,表明A矩阵上三角部分第3行的第1个非零元如果有的话应在U的第4个位置,而U表中第4个位置没有非零元素,为了检索方便,IU(3)仍应赋值4。
n有了IU表即可知道A的上三角部分第i行的非零元的数目n如果要查找A的上三角第i行所有非零元素,只要扫描A从IU(i)到IU(i+1)1即可,JU(k)指出了该元素的列号,U(k)是该非零元素的值。
n对于按列存储的格式进行查找的情况类同。
IUJUU版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院nUnJUnIUnLnILnJLnD三角检索存储n占用的存储单元分析:
n对于数组U,L,D共需个存储单元,此例为10。
n对JU,IL共需n个存储单元,此例中为6;
n对IU,JL,共需2n个存储单元,此例为8n总计需占用2+n个存储单元。
n是矩阵A中的非零元素的数目。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n三角检索存储格式在矩阵A的稀疏结构已确定的情况下使用是十分方便的。
n但在计算过程中,如果A的稀疏结构发生了变化,即其中的非零元素的分布位置发生变化,相应的检索信息也要随着变化,很不方便。
n有两种办法处理n事先估计注入,符号分解。
n链表格式版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院2.1.4链表存储格式n以按行存储的格式为例来说明。
这时除了需要按行存储格式中的三个数组外还需要增加下列数组:
nLINK下一个非零元素在VA中的位置,对每行最后一个非零元素,该值置为0。
nNA每行非零元素的个数。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n当新增加一个非零元素时,可把它排在最后,并根据该非零元素在该行中的位置的不同来修改其相邻元素的LINK值。
n例如,新增a13,把a13排在第11个位置,把a12的LINK值由3改为11,a13本身的LINK值置为3,NA
(1)增加1,变为4。
链表存储格式n重现第i行的所有元素:
n所以,只要用IA把该行第一个非零元素找到,就可以按LINK的指示找下一个非零元素。
n直到把该行中所有非零元素都找出来为止。
当找到第i行最后一个非零元素时LINK(A)0,这时do循环结束。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院2.22.22.22.2稀疏矩阵因子分解稀疏矩阵因子分解稀疏矩阵因子分解稀疏矩阵因子分解n对nn阶矩阵A,分解成下三角矩阵L和单位上三角矩阵U两者的乘积,即ALU。
n常规计算流程如下:
n在第p步计算中,规格化只有apj0计算才有效。
在消去运算中,只有aip以及apj都不为零才有效。
判判apj0则执则执行行判判aip及apj0则执行则执行版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n对稀疏存储格式应按所采用的存储格式的要求进行计算。
n例如,当假定对矩阵A进行了符号分解,当用三角检索存储格式时可用下面计算流程。
注意稀疏存储格式时的因子分解只用非零元素U(k),L(l)计算版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n对不同的分解方法有不同的计算流程。
但主要是避免无效运算。
版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院2.32.32.32.3利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性方程组利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性方程组利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性方程组利用稀疏矩阵因子表求解稀疏线性方程组n对Ax=b,假定分解成ALDU。
则有:
nLz=b前代过程nDy=znUx=y回代过程n如果b是稀疏向量,则仅有L的列子集参与(33)及(34)前代运算,而不是L的所有列参与,这种算法被称之为快速前代。
n对于解向量一般不稀疏,但如果只对其中的某些元素感兴趣,只求解部分元素,仅有U的行子集参与(35)回代运算,而不是U的所有行参与。
这种算法就是快速回代。
(36)(37)(38)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院1.前代过程前代过程n如果将L分解成一个单位矩阵和一个严格下三角矩阵的和,则Lz=b式可改写成:
n式中,li是的第i个列矢量(39)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院结构如下:
n矢量li的元素从第1个到第i个都是零,所以式中右边的zi对左边矢量z中前i个元素没有贡献,只会对i1到n的有影响。
(39a)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n即z中的第i个元素zi,只会对z中下标大于i的元素有影响。
换句话说,z中某元素只会受z中比该元素下标小的元素影响。
因此,前代运算应从小号到大号小号到大号依次进行。
计算流程如下:
n还要考虑li的稀疏性,所以对lji为0的不计算。
n对外循环中,zi为0则该次循环不计算。
(39b)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n考虑了矩阵和矢量的稀疏性,重写前代的计算流程:
n实际应用中,并不需要去判断元素是否为零,而是按排零存储格式直接取出非零元来进行运算。
(39c)版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n首先将独立b矢量送入zn依次对i=2,3,4,有例例32求前代过程n对i=1,只有两个非零元l21和l52和,因此有版权所有东南大学电气工程学院东南大学电气工程学院n可见:
(1)矢量z中下标小的元素只会影响下标大的元素,而不会影响比该元素下标小的元素。
例如z2不会影响z1,z3不会影响z1和z2,等等。
(2)前代中只取每列中非零元素并用它和z矢量中相应元素进行前代运算。
例如i1时,l3l和l4l是零元素,不必考虑z1和这两个零元素的运算。
在稀疏矩阵计算中,实际上只扫描该列中的非零元素,而不必扫描零元素。
(3)如果前代之前b中只有少数非零元素,例如b中只有b2是非零元素,由上面计算过程可知,i1的计算步可省去
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- 稀疏 技术 向量