全等三角形题型总结汇编.docx
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全等三角形题型总结汇编
全等三角形的判定题型
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
例题、已知:
如图,AD=BC,AC=BD.试证明:
∠CAD=∠DBC.
(答案)证明:
连接DC,
在△ACD与△BDC中
∴△ACD≌△BDC(SSS)
∴∠CAD=∠DBC(全等三角形对应角相等)
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
例题、已知,如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,并且
AE=(AB+AD),求证:
∠B+∠D=180°.
(答案)证明:
在线段AE上,截取EF=EB,连接FC,
∵CE⊥AB,∴∠CEB=∠CEF=90°
在△CBE和△CFE中,
∴△CBE和△CFE(SAS)∴∠B=∠CFE
∵AE=(AB+AD),∴2AE=AB+AD∴AD=2AE-AB
∵AE=AF+EF,
∴AD=2(AF+EF)-AB=2AF+2EF-AB=AF+AF+EF+EB-AB=AF+AB-AB,即AD=AF
在△AFC和△ADC中
∴△AFC≌△ADC(SAS)∴∠AFC=∠D
∵∠AFC+∠CFE=180°,∠B=∠CFE.∴∠AFC+∠B=180°,∠B+∠D=180°.
类型三、全等三角形的判定3——“角边角”
例题、已知:
如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.
求证:
HN=PM.
证明:
∵MQ和NR是△MPN的高,∴∠MQN=∠MRN=90°,
又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4∴∠1=∠2
在△MPQ和△NHQ中,
∴△MPQ≌△NHQ(ASA)∴PM=HN
类型四、全等三角形的判定4——“角角边”
例题、已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证;当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.
解:
图2成立;证明图2:
过点作
则
在△AMD和△DNB中,∴△AMD≌△DNB(AAS)∴DM=DN
∵∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN=90°,∴∠MDE=∠NDF
在△DME与△DNF中,
∴△DME≌△DNF(ASA)∴∴
可知,∴
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()
(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()
(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()
(答案)
(1)√;
(2)×;在△ABC和△DBC中,AB=DB,AE和DF是其中一边上的高,AE=DF
(3)×.在△ABC和△ABD中,AB=AB,AD=AC,AH为第三边上的高,如下图:
1、已知:
如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.求证:
AB∥DC.
(答案与解析)证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴在Rt△ADE与Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)∴AE=CF,DE=BF
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE
在Rt△CDE与Rt△ABF中,
∴Rt△CDE≌Rt△ABF(SAS)∴∠DCE=∠BAF∴AB∥DC.
(点评)从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF,从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进,证出题目.
2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,
过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
(1)求证:
AE=CD;
(2)若AC=12,求BD的长.
(答案与解析)
(1)证明:
∵DB⊥BC,CF⊥AE,∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°.
∴∠D=∠AEC.
又∵∠DBC=∠ECA=90°,且BC=CA,∴△DBC≌△ECA(AAS).∴AE=CD.
(2)解:
由
(1)得AE=CD,AC=BC,∴△CDB≌△AEC(HL)∴BD=EC=BC=AC,且AC=12.
∴BD=6.
(点评)三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件
三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:
△ABC的内心为,旁心为,这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
角的平分线的性质及判定
1、如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证:
BE=CF.
(答案)证明:
∵DE⊥AE,DF⊥AC,AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90°
在Rt△BDE与Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴BE=CF
2、如图,AC=DB,△PAC与△PBD的面积相等.求证:
OP平分∠AOB.
(答案与解析)
证明:
作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N
,,且
∴
又∵AC=BD∴PM=PN
又∵PM⊥OA,PN⊥OB∴OP平分∠AOB
(点评)观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD,显然与全等无关,而面积相等、底边相等,于是自然想到可得两三角形的高线相等,联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目,有时候用面积会取得意想不到的效果.
3、如图,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的平分线相交于E,过E的直线
分别交DC、AB于C、B两点.求证:
AD=AB+DC.
(答案)证明:
在线段AD上取AF=AB,连接EF,
∵AE是∠BAD的角平分线,∴∠1=∠2,
∵AF=AB AE=AE,∴△ABE≌△AFE,∴∠B=∠AFE
由CD∥AB又可得∠C+∠B=180°,∴∠AFE+∠C=180°,
又∵∠DFE+∠AFE=180°,∴∠C=∠DFE,
∵DE是∠ADC的平分线,∴∠3=∠4,
又∵DE=DE,∴△CDE≌△FDE,∴DF=DC,
∵AD=DF+AF,∴AD=AB+DC.
类型一、全等三角形的性质和判定
如图,已知:
AE⊥AB,AD⊥AC,AB=AC,∠B=∠C,
求证:
BD=CE.
(答案)证明:
∵AE⊥AB,AD⊥AC,∴∠EAB=∠DAC=90°
∴∠EAB+∠DAE=∠DAC+∠DAE,即∠DAB=∠EAC.
在△DAB与△EAC中,∴△DAB≌△EAC(SAS)∴BD=CE.
类型二、巧引辅助线构造全等三角形
(1).作公共边可构造全等三角形:
1、在ΔABC中,AB=AC.求证:
∠B=∠C
(答案)证明:
过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴∠B=∠C.
(2).倍长中线法:
1、已知:
如图所示,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.
求证:
CD=2CE.
(答案)证明:
延长CE至F使EF=CE,连接BF.
∵EC为中线,∴AE=BE.
在△AEC与△BEF中,∴△AEC≌△BEF(SAS).
∴AC=BF,∠A=∠FBE.(全等三角形对应边、角相等)
又∵∠ACB=∠ABC,∠DBC=∠ACB+∠A,∠FBC=∠ABC+∠A.
∴AC=AB,∠DBC=∠FBC.∴AB=BF.
又∵BC为△ADC的中线,∴AB=BD.即BF=BD.
在△FCB与△DCB中,∴△FCB≌△DCB(SAS).∴CF=CD.即CD=2CE.
2、若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长的取值范围是()
A.1<<6B.5<<7C.2<<12D.无法确定
(答案)A;提示:
倍长中线构造全等三角形,7-5<<7+5,所以选A选项.
(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形:
如图,AD是的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HD=BD.
(1)求证:
∠B与∠AHD互补;
(2)若∠B+2∠DGA=180°,请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系,并加以证明.
(答案)证明:
(1)在AB上取一点M,使得AM=AH,连接DM.
∵∠CAD=∠BAD,AD=AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD=MD,∠AHD=∠AMD.
∵HD=DB,∴DB=MD.∴∠DMB=∠B.
∵∠AMD+∠DMB=180︒,∴∠AHD+∠B=180︒.即∠B与∠AHD互补.
(2)由
(1)∠AHD=∠AMD,HD=MD,∠AHD+∠B=180︒.
∵∠B+2∠DGA=180︒,∴∠AHD=2∠DGA.
∴∠AMD=2∠DGM.
∵∠AMD=∠DGM+∠GDM.∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM.
∴∠DGM=∠GDM.∴MD=MG.
∴HD=MG.∵AG=AM+MG,∴AG=AH+HD.
(3).利用截长(或补短)法作构造全等三角形:
1、如图,AD是△ABC的角平分线,AB>AC,求证:
AB-AC>BD-DC
(答案)
证明:
在AB上截取AE=AC,连结DE
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD
在△AED与△ACD中
∴△AED≌△ADC(SAS)∴DE=DC
在△BED中,BE>BD-DC
即AB-AE>BD-DC∴AB-AC>BD-DC
2、如图所示,已知△ABC中AB>AC,AD是∠BAC的平分线,M是AD上任意一点,求证:
MB-MC<AB-AC.
(答案与解析)
证明:
∵AB>AC,则在AB上截取AE=AC,连接ME.在△MBE中,MB-ME<BE(三角形两边之差小于第三边).
在△AMC和△AME中,
∴△AMC≌△AME(SAS).∴MC=ME(全等三角形的对应边相等).
又∵BE=AB-AE,∴BE=AB-AC,∴MB-MC<AB-AC.
(点评)因为AB>AC,所以可在AB上截取线段AE=AC,这时BE=AB-AC,如果连接EM,在△BME中,显然有MB-ME<BE.这表明只要证明ME=MC,则结论成立.充分利用角平分线的对称性,截长补短是关键.
(4).在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
1、如图所示,已知E为正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE.
求证:
AF=AD+CF.
(答案与解析)
证明:
作ME⊥AF于M,连接EF.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠C=∠D=∠EMA=90°.
又∵∠DAE=∠FAE,∴AE为∠FAD的平分线,∴ME=DE.
在Rt△AME与Rt△ADE中,
∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL).∴AD=AM(全等三角形对应边相等).
又∵E为CD中点,∴DE=EC.∴ME=EC.
在Rt△EMF与Rt△ECF中,
∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL).∴MF=FC(全等三角形对应边相等).
由图可知:
AF=AM+MF,∴AF=AD+FC(等量代换).
(点评)与角平分线有关的辅助线:
在角两边截取相等的线段,构造全等三角形;在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形ABCD为正方形,则∠D
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