苏教版高中数学必修五知识点总结.docx
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苏教版高中数学必修五知识点总结
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解三角形复习知识点
、知识点总结
正弦定理】
abc
1.正弦定理:
2R(R为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
2.正弦定理的一些变式:
3.两类正弦定理解三角形的问题:
1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角
余弦定理】
222
ab2c22bccosA
1.余弦定理:
222
bac2accosBc2b2a22bacosC
b2c
2
2a
①若a2b2c2,则C90;
②若a2b2c2,则C90;
③若a2b2c2,则C90.
3.两类余弦定理解三角形的问题:
(1)已知三边求三角.
(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角
【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,
三角形中的常见结论】
1)ABC
(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,
ABCABC
sincos,cossin;sin2A2sinAcosA,
2222
(3)若ABCabcsinAsinBsinC
若sinAsinBsinCabcABC(大边对大角,小边对小角)
(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
(5)三角形中最大角大于等于60,最小角小于等于60
(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值
(7)ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B60.
(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列,且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:
判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统
成边的形式或角的形式.
a2b2c2A是直角ABC是直角三角形
(2)在ABC中,由余弦定理可知:
a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形
a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形
(注意:
A是锐角ABC是锐角三角形)
(3)若sin2Asin2B,则A=B或AB.
2
例1.在ABC中,c2bcosA,且(abc)(abc)3ab,试判断ABC形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在ABC中,a1,b3,A300,求的值
例3.在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c2,C.
3
Ⅰ)若ABC的面积等于3,求a,b;
Ⅱ)若sinCsin(BA)2sin2A,求ABC的面积.
题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法:
(1)左右,
(2)右左,(3)左右互相推.
例4.已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:
abcosCccosB.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角俯角方向角方位角视角
例5.如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?
数列知识点
1.等差数列的定义与性质
定义:
an1and(d为常数),ana1n1d等差中项:
x,A,y成等差数列2Axya1annnn1
前n项和Sn1nna1d
22
性质:
an是等差数列
(1)若mnpq,则amanapaq;
2)数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列,Sn,S2nSn,S3nS2n⋯⋯仍为等差数列,公差
为n2d;
(3)若三个成等差数列,可设为ad,a,ad
(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则amS2m1bmT2m1
(5)an为等差数列Snan2bn(a,b为常数,是关于n的常数项为0的二次函数)
Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值;或者求出an中的正、负分界项,
即:
当a10,d0,解不等式组an0可得Sn达到最大值时的n值.an10n
当a10,d0,由可得Sn达到最小值时的n值.
1an10n
(6)项数为偶数2n的等差数列an,有
7)项数为奇数2n1的等差数列an,有
S2n1(2n1)an(an为中间项),
定义:
q(q为常数,
q0),
等比中项:
x、G、y成等比数列G2xy,或Gxy
na1(q1)
前n项和:
Sna11qn(要注意!
)
n1(q1)
1q
an1
an
n1
anaq1
性质:
an是等比数列
1)若mnpq,则am·anap·aq
(2)Sn,S2nSn,S3nS2n⋯⋯仍为等比数列,公比为qn.注意:
由Sn求an时应注意什么?
n1时,a1S1;
n2时,anSnSn1
3.求数列通项公式的常用方法
1)求差(商)法
如:
数列an,1a112
222
1
2a2⋯⋯21nan2n5,求an
1
解n1时,a1215,∴a114
2
111
n2时,a12a2⋯⋯n1an12n15
2222n1
练习]数列an满足SnSn15an1,a14,求an3
注意到an1Sn1Sn,代入得Sn1
n1n1nSn
n2时,anSnSn1⋯⋯3·4n1
2)叠乘法
3)等差型递推公式
由anan1f(n),a1a0,求an,用迭加法a2a1f
(2)
n2时,a3a2f(3)两边相加得ana1f
(2)f(3)⋯⋯f(n)⋯⋯⋯⋯n1
anan1f(n)
∴ana0f
(2)f(3)⋯⋯f(n)
n
[练习]数列an中,a11,an3n1an1n2,求an(an231)(4)等比型递推公式
可转化为等比数列,设
ancan1d(c、d为常数,c0,c1,d0)
anxcan1xancan1c1x
5)倒数法
如:
a11,an1n,求an
1n1an2n
附:
由已知得:
1an211
an12an2an
∴1为等差数列,11,公差为ana1
an
2
an
n1
公式法、利用an
an1
an2
111
11n1·11n1,
22
an
S1(n1)
SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an1pan
q或
an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项
如:
n1
an是公差为d的等差数列,求1
k1akak1
解:
111akakddak
1
ak1
d0
∴1
n1
11
11
k1akak1k1
ak
ak1
1daaa
da1a2a2
11
a3
⋯⋯
anan1
11
练习]求和:
1
⋯⋯
12123123⋯⋯n
an
Sn
21
n1
2)错位相减法
若an为等差数列,
bn为等比数列,求数列anbn(差比数列)前n项和,可由SnqSn,
求Sn,其中q为bn的公比.
如:
Sn12x3x24x3
nxn1
x·Snx2x23x34x4⋯⋯n1xn1nxn
x1时,Sn1xnxn
2,x1时,Sn123⋯⋯n
1x21xn2
3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加
SSnaa1aa2⋯⋯ana1aan相加2Sna1ana2an1⋯a1an⋯
Snanan1⋯⋯a2a1
(附:
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较:
ab0ab;ab0ab;ab0ab.二、不等式的性
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