四年级上册“钟面问题”详解.doc
- 文档编号:1581456
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:11
- 大小:518.22KB
四年级上册“钟面问题”详解.doc
《四年级上册“钟面问题”详解.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《四年级上册“钟面问题”详解.doc(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
四年级上册“钟面问题”详解
“大自然真是神奇,从来都给我们意想不到的答案。
”——hcj0131
从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数发展到记数符号——数字的。
虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位制,但人类与生俱来地适应了十进制——不过大自然给了我们许多例外,有音高的12进制、时间的60进制等等。
“钟面问题”就是时间的多种进制在数学上的应用之一。
一、研究“钟面问题”的基本知识
(一)钟面的形状及角度
计时工具从古代的日晷(根据影子确定时间)、水钟、烧香计时,到现在的机械钟、石英钟、原子钟,虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变,但若是以指针表盘作为钟面,大都是圆形的。
人们将圆周平均分成360份,并规定每一份的大小称作1度,表示为1°。
因此我们就有了周角360°、平角180°和直角90°的概念。
而钟面被平均分成12个点钟,因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是360°÷12=30°。
每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成5份(每份是30°÷5=6°),因此整个钟面被平均分成5×12=60个刻度,正合每小时60分、每分钟60秒的进制,多么神奇!
(二)指针运动(旋转)规律
钟面上一般有3种指针:
秒针、分针和时针,三种指针都绕着同一个中心点按照顺时针作旋转运动。
秒针每秒运行1个最小刻度,即旋转6°,分针每分钟运行1个最小刻度,即旋转6°,时针每小时运行一个整点刻度,即30°。
如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度,将形成以下表格。
1秒钟
1分钟
1小时
1天
秒针
6°
360°
21600°
518400°
分针
0.1°或6’
6°
360°
8640°
时针
0.5’或30’’
0.5°或30’
30°
720°
其中,人们规定再将1°平均分成60份,每份为“1分”,记作“1’”;再将“1’”平均分成60份,每份为“1秒”,记作“1’’”——这个可与时间的“分、秒”有所不同——为了不导致混乱,我们尽量用°作单位来研究。
二、不同类型的典型“钟面问题”
典型的钟面问题不考虑秒针(或是认为这时秒针在12点处,每一分都是完整的),简化了问题,只要求时针与分针的夹角。
(一)整点的时针与分针夹角问题
不考虑24小时制(即将2点和14点——下午2点看做相同点钟),钟面上有12个整点,从1点整到12点整(也即0点整)。
在这12个整点时,分针指向“12”,时针在各个整点上,因此时针与分针夹角为若干个30°。
如:
但如果时针在7、8、9、10、11点,时针和分针的夹角有2个,我们一般计算不大于180°的那个(写210°也不是算错误的)。
如:
7:
00或19:
00时,时针和分针夹角为7个整点,即30°×7=210°,但我们一般计算不大于180°的角,即360°-210°=150°。
(二)半点的时针与分针夹角问题
不考虑24小时制,钟面上有12个半点,从1点半到12点半(也即0点半)。
在这12个半点时,分针指向“6”,时针在两个整点中间(因为时针要随着分针运动而运动,分针走了半小时,时针也要走半小时),因此时针与分针夹角为若干个30°再加上1个半点30°÷2=15°。
如:
0:
30或12:
30,时针和分针夹角为5又半个整点,即30°×5+30°÷2=165°,或者可以看作是平角还少半个整点,即180°-30°÷2=165°。
其实可以发现,整点、半点钟的夹角都是15°的倍数,正好是三角尺拼角的角度(请自己想象15°的各个倍数,各可以是几点钟)。
(三)一般的时针与分针夹角问题
如果点钟不是整点和半点,就“比较麻烦”了,因为情况很多,但不变的规律是:
分针走了一个小时(一周,即360°)的几分之几,时针也要走一个小时(一个点钟,即30°)的几分之几。
因此,我们只要确定时针和分针各自的位置,再根据他们与指针“12”的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。
如:
3:
24或15:
24,时针在3点至4点之间,走了“1个小时的”(因为1个小时是60分钟,分针走了24分钟,时针也要走相应部分),即30°×=12°(也可以用表格中的数据来计算0.5°×24=12°),因此时针与指针“12”的夹角是30°×3+12°=102°,而分针与指针“12”的夹角是6°×24=144°,因此时针与分针的夹角是144°-102°=42°。
4:
43或16:
43,时针在4点至5点之间,与指针“12”的夹角是30°×4+0.5°×43=141.5°,而分针与指针“12”的夹角是6°×43=258°,因此时针与分针的夹角是258°-141.5°=116.5°
按照这个规律,我们可以分别用字母表示几点几分,来算出时针与分针的夹角。
如设点钟为X(X范围在0至11)而分钟为Y(范围在00到59),则X点Y分时,时针与指针“12”夹角为30°×X+0.5°×Y,而分针与指针“12”夹角为6°×Y,它们之差为30°X-5.5°Y,即此时时针与分针夹角为|30°X-5.5°Y|(绝对值,如是负数则取其相反数)或这个角度与360°的差值。
如:
如左图,8:
16或20:
16,时针与分针的夹角为30°×8-5.5°×16=240°-88°=152°。
如右图,11:
36或23:
36,时针与分针的夹角为30°×11-5.5°×36=330°-198°=132°。
可以用这个“公式”来验证整点和半点的时针与分针夹角。
如果还要考虑秒针的位置,则道理相同,X:
Y:
Z点钟(即X点Y分Z秒)时,也有相应的“公式”:
X:
Y:
Z时,时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z,分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z,秒针与指针“12”的夹角是6°Z。
三、其他“非典型钟面问题”
(一)求一天有几次三针合一(时针、分针和秒针在同一位置)
有人会认为1点5分时时针与分针重合,但其实这时时针已经再走了一些。
根据上面整理而成的公式30°X-5.5°Y可以很容易知道,当这个值是0的时候时针与分针重合。
而其他值则需要用上面的公式来推导。
X:
Y:
Z时,时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z,分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z,秒针与指针“12”的夹角是6°Z。
因此,这三个指针与指针“12”的夹角必须完全相同才算重合。
而X取值只有0—11这12种情况,分别代入求得以下解:
方法:
先都转化单位为°,统一消去,得方程组
1800X+30Y+0.5Z=360Y+6Z①
360Y+6Z=360Z②
由①可得1800X=330Y+5.5Z③
由②可得360Y=354Z④
由③④可得1800X=330Z⑤
将X=0,1,…,10,11代入⑤求得相应的Z,再用④求得相应的Y。
当X=0时,Y=0,Z=0,即0点0分0秒;
当X=1时,Y=5,Z=5,即1点5分5秒;
当X=2时,Y=10,Z=10,即2点10分10秒;
当X=3时,Y=16,Z=16,即3点16分16秒;
当X=4时,Y=21,Z=21,即4点21分21秒;
当X=5时,Y=26,Z=27,即5点26分27秒;
当X=6时,Y=32,Z=32,即6点32分32秒;
当X=7时,Y=37,Z=38,即7点37分38秒;
当X=8时,Y=42,Z=43,即8点42分43秒;
当X=9时,Y=48,Z=49,即9点48分49秒;
当X=10时,Y=53,Z=54,即10点53分54秒;
当X=11时,Y=58=59,Z=59=60,即11点59分60秒,也就是12点整,与0点0分0秒重合了。
因此,从0点0分0秒开始,每经过1小时5分5秒三针就重合一次,每12个点钟,时针、分针、秒针只重合11次,一天之内三针(头尾重复不计)只重合22次哦!
(二)三针互相垂直的问题
来自百度知道:
原题:
一昼夜中(24小时),是否存在这样的时刻,使得钟面上的时针、分针、秒针分别垂直(不包括重合),即三针中任意两针在一条直线上,另一针垂直于这条直线?
解法:
这题也可以通过三个指针的位置关系来解决。
已知X:
Y:
Z时,时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z,分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z,秒针与指针“12”的夹角是6°Z。
当X在0至11时,Y都有2种情况使得分针与时针垂直(分别是分针与指针“12”夹角比时针与指针“12”夹角多90°和270°的情况),而相对应的Z又都有2种情况使得秒针与时针或分针垂直(分别是秒针与指针“12”的夹角比分针与指针“12”的夹角多90°或180°以及少90°或180°)。
而再细分一下发现,时针在不同位置时,分针与秒针与指针“12”的夹角公式可能会差一个周角,因此具体问题具体分析,结合图像来解答为宜(其实是觉得用绝对值的方法会把问题复杂化)。
当X=0时,时针在0到1之间,分针夹角有2种情况(比时针夹角多90°和270°),秒针夹角根据分针各有2种情况(分别是比分针多90°和180°,以及比分针少180°和少90°)。
——用秒针和分针比较,因为两者公式相近,且不牵扯到X。
因此X=0就有4种情况(详见下面表格)。
由第一种,有:
30°X+0.5°Y+0.5’Z+90°=6°Y+0.1°Z(其中X=0)
6°Y+0.1°Z+90°=6°Z
解得X=0,Y=15,Z=31。
即在0点15分31秒时“三针垂直”。
其他解法类似,解决过程略(有兴趣、有毅力的同学们可以借助计算器尝试一下)。
得到如下表格。
时针在某整点之后(在下一整点之前)
分针夹角(比时针夹角)
秒针夹角(比分针夹角)
X
Y
Z
对应时间
0
多90°
多90°
0
15
31
0点15分31秒
0
多90°
多180°
0
15
46
0点15分46秒
0
多270°
少180°
0
48
19
0点48分19秒
0
多270°
少90°
0
48
34
0点48分34秒
1
多90°
多90°
1
21
36
1点21分36秒
1
多90°
多180°
1
20
51
1点20分51秒
1
多270°
少180°
1
54
24
1点54分24秒
1
多270°
少90°
1
53
39
1点53分39秒
2
多90°
多90°
2
26
42
2点26分42秒
2
多90°
多180°
2
26
57
2点26分57秒
2
多270°
少180°
2
59.5
30
2点59.5分30秒
2
多270°
少90°
2
59.25
45
2点59.25分45秒
算到这边,出现了一个问题。
“2点59.5分30秒”和“2点59.25分45秒”,秒针的指向非常精确,而同时的时针和分针却还差那么“一点”,是时间不可分割还是三个指针的角度公式有误?
请大家继续解释,补充完善吧。
下面的部分类似,每3个点钟的情况相似。
时针在某整点之后(在下一整点之前)
分针夹角(比时针夹角)
秒针夹角(比分针夹角)
X
Y
Z
对应时间
3
多90°
多90°
3
31
47
3点31分47秒
3
多90°
少180
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 四年级 上册 问题 详解