概率论与数理统计习题二答案.docx
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概率论与数理统计习题二答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题
2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只X的分布律.
X0,1,2.
X3,4,5
1
P(X
3)
c;
3
0.1
P(X
4)
J
0.3
C5
P(X
5)
c2
^3
0.6
5
故所求分布律为
X
3
4
5
P
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:
(1)X的分布律;
(2)X的分布函数并作图;
(3)
故X的分布律为
X
0
1
2
P
22
12
丄
35
35
35
(2)当x<0时,F(x)=P(XWx)=0
当0wx<1时,
22F(x)=P(Xwx)=P(X=0)=——
35
34
当1wx<2时,
F(x)=P(Xwx)=P(X=0)+P(X=1)=—
35
当x>2时,F故X的分布函数
(X)=P(XWx)=1
0,
22
F(x)
35,
34
35,
1,
3.
P(X
2)
F(
122
-)亍
2
235
P(1
X
|)
F(|)
F
(1)竿
2
2
35
3
P(1
X
2)
P(X
1)P(1X
P(1
X
2)
F
(2)
F
(1)P(X
射手向目标独立地进行了
3次射击,
每次击中率为,
2)
34
35
3
2)
律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
12
35
.341C
1——一0.
3535
求3次射击中击中目标的次数的分布
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
P(X0)(0.2)30.008
故X的分布律为
P(X
P(X
P(X
1)
2)
3)
C30.8(0.2)0.096c3(0.8)20.20.384(0.8)30.512
0
1
2
X
P
4.
(1)设随机变量X的分布律为
k
P[X=k}=a—,k!
a.
其中k=0,1,2,…,入>0为常数,试确定常数
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,
k=1,
2,…,N,
试确定常数a.
【解】
(1)由分布律的性质知
(2)由分布律的性质知
P(X
1
N
k)—a
k1N
a1.
,今各投3次,求:
即
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.
(3)【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X〜b(3,),Y〜b3,
222233
C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3(0.6)(0.7)
0.32076
⑵P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X
3,Y
0)
P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X
3,Y
2)
C;0.6(0.4)2(0.3)3c3(0.6)20.4(0.3)3
(0.6)3(0.3)3c2(0.6)20.4C;0.7(0.3)2
312322
(0.6)C30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各飞机
降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,,设机场需配备N条跑道,则有
P(XN)0.01
200
Ck00(0.02)k(0.98)200k0.01
1
利用泊松近似
np2000.024.
查表得NA9.故机场至少应配备
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在
某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松
定理)
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,)
Cd0.1
0.1e
X满足
P,则
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数
【解】设在每次试验中成功的概率为
P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
所以
c5p(1p)4
22
C5P(1
P(X4)
P)3
1
3c5
(1)42
5W3
A发生不少于3次时,进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,)
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为,当
(1)
(2)
【解】
10
243.
指示灯发出信号,
k
k0.16308
5kk5
P(X3)C5(0.3)(0.7)
k3
k0.35293
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(
分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1)求某一天中午12时至下午
(2)求某一天中午12时至下午
3
e2
3时没收到呼救的概率;
5时至少收到
1次呼救的概率.
1/2)t的泊松
【解】
(1)P(X0)
P(X
1)1P(X0)1
kk
11.设P{X=k}=C2pk(1
\2k
p)
k=0,1,2
P{Y=m=cmpm(1p)4m
m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,
Y的概率分布,如果已知
5
P{X>1}=-,试求RY》1}.
9
【解】因为P(X
1)
5,故P(X1)4
99
P(X1)
P(X0)
(1p)2
故得
(1
P)2
4
9,
1
3.
从而
P(Y1)1P(Y0)1
P)4
—0.8024781
2000册,因装订等原因造成错误的概率为,试求在这2000册书中恰有
(1
12.某教科书出版了
5册错误的概率
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,.利用泊松近似计算,
np20000.0012
P(X5)虫0.0018
5!
13.进行某种试验,成功的概率为
次数,试写出X的分布律,
3
,
4
并计算
1
失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的
4
X取偶数的概率.
【解】X1,2,L,k,L
k)
(1)k
4
13
4
P(X
2)P(X
4)
LP(X2k)L
13
1g3
133
(1)33
L(亍弋L
34
4
41(4)2
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险的概率为,每个参加保险的人在公司领取2000元赔偿金.求:
(1)
(2)
【解】以
(1)
.在一年中每个人死亡
1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险
保险公司亏本的概率;保险公司获利分别不少于
“年”为单位来考虑.
在1月1日,保险公司总收入为
10000元、20000元的概率.
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,
2500X12=30000元.
,则所求概率为
P(2000X30000)
P(X15)1P(X14)
由于n很大,p很小,入=np=5,故用泊松近似,有
P(X
15)1
14c5_k
e5
0.000069
k0k!
(2)R保险公司获利不少于
10000)
P(300002000X
10000)
P(X10)
0.986305
即保险公司获利不少于
10000元的概率在98%X上
P(保险公司获利不少于
20000)P(300002000X20000)P(X5)
5e55k
0.615961k0k!
20000元的概率约为
即保险公司获利不少于
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|
求:
(1)A值;
(2)P{0vXv1};(3)
F(x).
62%
OOVxV+8,
【解】
(1)
f(x)dx1得
Ae
Ixdx
20
Aexdx2A
1
p(0X1)1
xdx
1
2.
1(1
e1)
当x<0时,F(x)
X1X人1
-edx-e22
当x>0时,F(x)
x1e|x|dx
2
1x
1一e
2
1x-e
2
dx
F(x)
1x
2e'
1
-e
2
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,
嘤x100,
x
x100.在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
F(x).
电子管使用寿命
X的密度函数为
f(x)=
0,
求:
(1)
(2)
(3)
【解】
P(X150)
150100
—^dx
100x2
Pi[P(X
150)]3
1
3.
8
27
4
9
⑶当x<100时F(x)=0
x
⑵P2c33(|)2
当x>100时F(X)
100
f(t)dt
x
100gdt
x100dt
100t
100
F(x)1
100
x100
x
0,
X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a:
中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求
【解】由题意知X~U[0,a],密度函数为
17.在区间[0,a:
上任意投掷一个质点,以
X的分布函数.
故当x<0时F(x)=0
x
f(t)dt
a
0,
其他
f(t)dt
Pdt
0a
当x>a时,F(x)=1
即分布函数
F(x)
a
1,
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布值大于3的概率.
【解】X~U[2,5],即
.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测
f(x)
3,12x5
0,
其他
P(X
3)
5ldx
33
故所求概率为
f(x)
P(X10)
1
—e
105
x
5dx
Y-b(5,e),即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走
.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).
(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些
(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些【解】
(1)若走第一条路,X〜N(40,102),则
10
6040
10
(2)0.97727
若走第二条路,X〜N(50,
42*),则
P(X60)P
X50
6050
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- 概率论 数理统计 习题 答案