二次函数几种解析式的求法.docx
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二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试
题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。
2
分析已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代
入,易得a=2,b=-3,c=5。
故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系
数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.
二、交点型
22
+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点,
2
11x23x
二y=2x(x-3),即y=22.
三、顶点型
2
例3已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。
分析此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.
1
再将点(1,2)代入求得a二2
12
-(x1)24,
...y=-2
1x2x7
即y=-22.
由于题中只有一个待定的系数
a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。
四、平移型
2
例4二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函
y1
数x22x'则b与c分别等于
(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析逆用平移分式,将函数y=x2-2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移
两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。
2bxc(x3)23
.y=x
=x26x6.
.b=-6,c=6.
因此选(B)五、弦比型
2
例5已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长
为2,求这个二次函数的解析式。
r
V分析弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=a
就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A(1,0),B(3,0)。
再应用交点式或顶点式求得
解析式为y=-2x2+8x-6.
六、识图型
1x2
例6如图1,抛物线y=2
(b2)xc
1X2
与y=2
(b2)xd
其中一条的顶点为
P,
另一条与X轴交于M、N两点。
(1)试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点?
(2)求两条抛物线的解析式。
r
解(i)抛物线
i
—X2
y=2
(b2)xc
与x轴交于M,
点(过程从略);
二b-2=0,d=1,二b=2.
1x21
•••Y=2
1x2
将点N的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6.
1x2
二y=2+4x+6
七、面积型
例7已知抛物线
y=x2bx
c
的对称轴在y轴的右侧,且抛物线与
与x轴的交点为
A、
B,
顶点为
P,
PAB的面积为8。
求其解析式。
解将(0,-3)代入
y=X2
bx
c得c=-3.
由弦长公式,得
AB
讥2
12
y轴交于Q(0,
3),
12b2
点P的纵坐标为由面积公式,得
1b2
2
所以解析式为y=x22x3
八、几何型
2
例8已知二次函数y=x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的
顶点组成一个等边三角形,求其解析式。
2
解由弦比公式,得AB=m4(2m4)m4
(m4)2
顶点C的纵坐标为-4
•••△ABC为等边三角形
(m4)2
4
解得m=4y=X2(4
或y=x2
3,
2故所求解析式为
Jj*J
23)x443,
(423)x443
九、三角型
2
例9已知抛物线y=x2
bxc的图象经过三点(
12
0,25)、(sinA,0)、(sinB,0)且
A、B为直角三角形的两个锐角,求其解析式。
解tA+B=900,二sinB=cosA.
则由根与系数的关系,可得
sinAcosAb
sinAcosAc
V12.
将(0,25)代入解析式,得c=25
(1)
2⑵
2,得
b2
24.
1,b
_7
25
・・
5
7
V-b
0,...
b=-5
x2
7x
12
所以解析式为
y=
5
25
十、综合型
AOC〜COB,可得OC2=OA
•-q
2=q解得q1=1,q2=0(舍去),
OC
OC
XX
即12
二x1+x2=-2x1x2即p=2p=2
所以解析式为y=-x2+2x+1
函数及其图象
次函数性质的应用
用二次函数性质求点的坐标
二次函数解析式
二次函数解析式
测试
与答案
知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,对称轴是直线x=-1
a.b.c.b2-4ac的符号,
a-b+cvo;
取何值时,y随x值的增大而减小。
由抛物线开口向上,得出a>0,由抛物线与y轴交点坐标为(O,C),而此点在x轴下方,得出cv0,又=-
1,在y轴左侧,得出b与a同号二b>0。
x轴有两个交点,即ax2+bc+c=0有两个不等的实根,二b2-4ac>0
-1时,y=a-b+cv0
v-1时,y随x值的增大而减小。
知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2。
(1)求⑵若此函数图象上有一点P,使PAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标。
已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性,又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4
(1,0),(5,0)
•••当x=3时y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3,-2).二设二次函数解析式为
2-2
在x轴上截得线段AB的长是4,二图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点
-2=0
次函数解析式为y=x2-3x+
AB的面积为12个平方单位,|AB|=4
x4x|Py|=12|Py|=6二Pg=±6
开口向上,函数值最小为-2,二Py=-6应舍去,二Pg=6又点P在抛物线上,
x2-3x+
=7
坐标为(-1,6)或(7,6)
题如果设图象与x轴交点横坐标为x1,x2,运用公式|xi-x2|=,会
抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标,比较简便。
图,矩形EFGH内接于ABC。
E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上,AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HEEFGH的
面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式,并回答当矩形的宽取多长时,它的面积最
边形EFGH是矩形
//AC
ABCsHBG
交HG于M
与BM分别是
ABC和HBG的高
//AC,
HE=x,BM=6-x
矩形EFGH=HE*HG
得y=-x2+8x
6
变量x的取值范围是0vxv6
的系数为-V0,
有最大值
=3时,
==12
值
求函数的解析式为y=-
x2+8x(Ovxv6),当它的宽为3cm时,矩形EF
为12cm2。
22
二次函数y=ax+bx-5的图象的对称轴为直线x=3,图象与y轴相交于点B,设x1,x2是方程ax+bx-5=0的
二次函数的解析式
原点0到直线AB的距离
=3二-
=6
+x2=-
知,有
x12+x22=26,
+x2)2-2x1x2=26
=26,
)2+
a=-1
析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4
OB=5,0C=4,AC=3
=5
OB为等腰三角形,作
OD丄AB于D,
点0到直线AB的距离为同步测
试:
P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点,那么P点坐标是()
-1)(B)(-3,-1)(C)(-3,-2)(D)(-4,-2)
(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上,则a与b的关系是()
B)a=-b
y)在第
3)(B)(2,
(C)a=|b|(D)|a|=b
象限,且|x|=2,
Iy|=3,则点P关于
-3)(C)(-2,-3)(D)(2,3)
(B)xv2
(C)xm2(D)x>2
x轴对称点的坐标为()
中,自变量x的取值范围是()
中,自变量x的取值范围是()
且x丰1(B)x>-2且x丰1
且x丰士1(D)x>-2或x丰士1
函数中,成正比例函数关系的是()
面积与它的周长
面积是定值,矩形的长与宽
形面积与它的边长
边一定时,三角形面积与底边上的高
=k(x-1)与y=
(kvo)在同一坐标系下的图象大致如图()
线y=kx+b的图象过二、三、四象限,那么()
b>0(B)k>0,bv0
b>0(D)kv0,bv0
物线y=-
+x-x2,下列结论正确的是()
向上,顶点坐标是(
向下,顶点坐标是(
向下,顶点坐标是(-
向上,顶点坐标是(-
2+bx的图象是下面图中的()
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则()
b>0,
c>0,
v0
b>0,
cv0,
>0
bv0,
cv0,
>0
bv0,
c>0,
v0
数y=2x
2-4x-5的
图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,所得到的函数图象的解析式为()
+4x-8(B)y=2x2-8x+8
+4x-2(D)y=2x2-8x-2
,-5)到x轴的距离是;至Uy轴的距离是;到原点的距离是
y=kx+b与直线y=-x平行,且通过点(2,-3),贝Uk=__,在y轴上的
函数的图象经过(1,-5)点且与y轴交于(0,-1)点,则一次函数的解析式为.
抛物线的顶点为
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