指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本.docx
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指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1.三种函数的增长特点
(1)当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快.
(2)当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且当a越小时,其函数值的增长就越快.
(3)当x>0,n>1时,幂函数y=xn显然也是增函数,并且当x>1时,n越大其函数值的增长就越快.
2.三种函数的增长比较
在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,幂函数y=xn(n>0),指数函数y=ax(a>1)增长的快慢交替出现,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.一般地,若a>1,n>0,那么当x足够大时,一定有ax>xn>logax.
[小问题·大思维]
1.2x>log2x,x2>log2x,在(0,+∞)上一定成立吗?
提示:
结合图像知一定成立.
2.2x>x2在(0,+∞)上一定成立吗?
提示:
不一定,当0<x<2和x>4时成立,而当2<x<4时,2x<x2.
[研一题]
[例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1130
2005
3130
4505
y2
5
94.478
1785.2
33733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.3107
1.4295
1.1407
1.0461
1.0151
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________.
[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开始变化,变量y4越来越小,但是减小的速度很慢,则变量y4关于x不呈指数型函数变化;而变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增大的速度不同,其中变量y2的增长最快,画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化.[答案] y2
[悟一法]
解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况,结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,从中作出判断.
[通一类]
1.下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
2x+7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
log2x
0
1
1.5850
2
2.3219
2.5850
2.8074
3
3.1699
3.3219
试问:
(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势?
(2)各函数增长的快慢有什么不同?
解:
(1)随x的增大,各函数的函数值都在增大;
(2)由图表可以看出,各函数增长的快慢不同,其中f(x)=2x增长最快,而且越来越快;增长最慢的是f(x)=log2x,而且增长的幅度越来越小.
[研一题]
[例2] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:
每天回报40元;
方案二:
第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:
第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
[自主解答] 设第x天所得回报是y元.
由题意,方案一:
y=40(x∈N+);方案二:
y=10x(x∈N+);方案三:
y=0.4×2x-1(x∈N+).
作出三个函数的图像如图:
由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四天,方案一,二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,经验证到第三十天,所得回报已超过2亿元,∴若是短期投资可选择方案一或方案二,长期的投资则选择方案三.
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数
累积收益
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
…
∴投资一天到六天,应选方案一,投资七天方案一,二均可,投资八天到十天应选方案二,投资十一天及其以上,应选方案三.
[悟一法]
(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决,结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系.
(2)一般地:
指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律;对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;而幂函数增长模型介于两者之间,适合于描述增长速度一般的变化规律.
[通一类]
2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:
元/102kg)与上市时间t(单位:
天)的数据如下表:
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个函数,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系;
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解:
(1)由表中数据知,当时间t变化时,种植成本并不是单调的,故只能选择Q=at2+bt+c.
即解得Q=t2-t+;
(2)Q=(t-150)2+-=(t-150)2+100,
∴当t=150天时,西红柿的种植成本最低,为100元/102kg.
若x2<logmx在x∈(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.
[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0,)内的上下位置关系,再构建不等式求解.
[妙解] 设y1=x2,y2=logmx,作出符合题意的两函数的大致图像(如图),可知0<m<1.
当x=时,y1=,若两函数在x=处相交,则y2=.由=logm得m=,
又x2<logmx在x∈(0,)内恒成立,因此,实数m的取值范围为≤m<1.
1.下面对函数f(x)=logx与g(x)=()x在区间(0,+∞)上的增减情况的说法中正确的是( )
A.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越快
B.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越慢
C.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越慢
D.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越快答案:
C
2.下列所给函数,增长最快的是( )
A.y=5x B.y=x5 C.y=log5x D.y=5x答案:
D
3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷,0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x答案:
C
4.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________.
解析:
在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图像,如图所示,
由于函数f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x图像的上方,则f(x)>g(x).答案:
f(x)>g(x)
5.据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________.
解析:
设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50=0.9,
∴q%=0.9,∴x年后湖水量y=m·(q%)x=m·0.9.答案:
y=0.9·m
6.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图像如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
解:
(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx;
(2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x).
一、选择题
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )
A.y=10xB.y=lgxC.y=x10D.y=10x答案:
D
2.某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像为( )
解析:
y=f(x)=(1+10.4%)x=1.104x是指数型函数,定义域为{0,1,2,3,4…},由单调性,结合图像知选D.答案:
D
3.函数y=2x-x2的图像大致是( )
解析:
由图像可知,y=2x与y=x2的交点有3个,说明函数y=2x-x2与x轴的交点有3个,故排除B、C选项,当x
答案:
A
4.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2的大小关系是( )
A.h(x)<g(x)<f(x)B.h(x)<f(x)<g(x)
C.g(x)<h(x)<f(x)D.f(x)<g(x)<h(x)
解析:
在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x-2的图像,由图像知,D正确.
答案:
D
二、填空题
5.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子没有什么变化,但价格却上涨了,小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2014年,这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________.答案:
y=15(1+x)10
6.在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=f(x)的图像恰好经过k个格点,则称函数y=f(x)为k阶格点函数,则下列函数中为一阶格点函数的序号是________.①y=x2;②y=x-1;③y=ex-1;④y=log2x.
解析:
这是一道新概念题,重点考查函数值的变化情况.显然①④都有无数个格点;②有两个格点(1,1),(-1,-1);而③y=ex-1除了(0,0)外,其余点的坐标都与e有关,所以不是整点,故③符合.答案:
③
7.若a=()x,b=x3,c=logx,则当x>1时,a,b,c的大小关系是________.
解析:
∵x>1,∴a=()x∈(0,1),b=x3∈(1,+∞),
c=logx∈(-∞,0).∴c<a<b.答案:
c<a<b
8.已知a>0,a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时,均有f(x)<,则实数a的取值范围是________.
解析
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