由递推式求数列通项的典型题的技巧解法.doc
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由递推式求数列通项的典型题的技巧解法
对于由递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1递推公式为
解法:
把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例1.已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
类型2
(1)递推公式为
解法:
把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2.已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
(2)由和确定的递推数列的通项可如下求得:
由已知递推式有,,,依次向前代入,得,
简记为,这就是叠(迭)代法的基本模式。
(3)递推式:
解法:
只需构造数列,消去带来的差异。
例3.设数列:
,求数列的通项公式。
解:
设,将代入递推式,得
…(1)则,又,故代入(1)得
说明:
(1)若为的二次式,则可设;
(2)本题也可由,()
两式相减得转化为求之.
例4.已知,,求数列的通项公式。
解:
类型3递推公式为(其中p,q均为常数,)。
解法:
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
在数列中,若,则该数列的通项。
例5.已知数列中,,,求数列的通项公式。
解:
设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,
所以.
类型4递推公式为(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)
解法:
该类型较类型3要复杂一些。
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
。
引入辅助数列(其中),得:
再应用类型3的方法解决。
例6.已知数列中,,,求数列的通项公式。
解:
在两边乘以得:
令,则,应用例7解法得:
所以
类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法:
先把原递推公式转化为
其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解。
已知数列满足求数列的通项公式。
例7.已知数列中,,,,求数列的通项公式。
解:
由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即
又,所以。
类型6递推公式为与的关系式。
(或)
解法:
利用进行求解。
例8.已知数列前n项和,
(1)求与的关系;
(2)求数列的通项公式。
解:
(1)由得:
于是
所以.
(2)应用类型4的方法,上式两边同乘以得:
由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
类型7双数列型
解法:
根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例9.已知数列中,;数列中,。
当时,,,求数列、的通项公式。
解:
因
所以
即…………………………………………
(1)
又因为
所以……
.即………………………
(2)
由
(1)、
(2)得:
,
总结方法比做题更重要!
方法产生
于具体数学内容的学习过程中.
练习题
1.(2010上海文数)已知数列的前项和为,且,,求的通项公式.()
2.(2010重庆理数)在数列中,=1,,其中实数,求的通项公式.(,)
3.(2010四川理数)已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有
a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求a3,a5;
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:
{bn}是等差数列;
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
((Ⅰ)a3=6,a5=20;(Ⅲ)Sn=)
4.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中,,设,求数列的通项公式.(,).
5.(2009湖北卷理)已知数列的前n项和(n为正整数)。
令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式.()
6.(2009全国卷Ⅱ理)设数列的前项和为已知.
(1)设,证明数列是等比数列.;
(2)求数列的通项公式.()
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