初中数学竞赛辅导资料(25).doc
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初中数学竞赛辅导资料(25)
十进制的记数法
甲内容提要
1.十进制的记数法就是用0,1,2…9十个数码记数的方法,位率是逢十进一。
底数为10的各整数次幂,恰好是十进制数的各个位数:
100=1(个位数—第1位),101=10(十位上的数---第2位),
102=100(百位上的数---第3位),…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
2.十进制的n位数(n为正整数),记作:
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0,即0 3.各位上的数字相同的正整数记法: 例如∵999=1000-1=103-1,9999=104-1,∴=10n-1 =,=,= 4解答有关十进制数的问题,常遇到所列方程,少于未知数的个数,这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数,这一性质进行讨论。 乙例题 例1.一个六位数的最高位是1,若把1移作个位数,其余各数的大小和顺序都不变,则所得的新六位数恰好是原数的3倍,求原六位数。 解: 设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105+x,新六位数为10x+1, 根据题意,得 10x+1=3(1×105+x) 7x=299999x=42857 ∴原六位数是142857 例2.设n为正整数,计算×+1 解: 原数=(10 n–1)×(10 n–1)+1×10n+10n-1 =102n-2×10n+1+10n+10n-1 =102n 例3.试证明12,1122,111222,……,这些数都是两个相邻的正整数的积 证明: 12=3×4, 1122=33×34,111222=333×334 注意到333×334=333×(333+1)=×(+1) 由经验归纳法,得 =×10n+ =(+) =( 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积 例4.试证明: 任何一个四位正整数,如果四个数字和是9的倍数,那么这个四位数必能被9整除。 并把它推广到n位正整数,也有同样的结论。 证明: 设一个四位数为103a+102b+10c+d,根据题意得 a+b+c+d=9k(k为正整数),∴d=9k-a-b-c,代入原四位数,得 103a+102b+10c+9k-a-b-c=(103-1)a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) ∵111a+11b+c+k是整数, ∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除 推广到n位正整数: n位正整数记作10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+an (1) ∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数) ∴an=9k-a1-a2-…-an-1 代入 (1)得 原数=10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k-a1-a2-…-an-1 =(10n-1-1)a1+(10n-2-1)a2+…+9an-1+9k ∵10n-1-1,10n-2-1,…10-1分别表示,,…9 ∴原数=9(a1+a2+…+an+k) ∴这个n位正整数必能被9整除 例5.已知: 有一个三位数除以11,其商是这个三位数的三个数字和。 求: 这个三位数。 解: 设这个三位数为102a+10b+c其中0<a≤9,0≤b,c≤9 =9a+b+且-8≤a-b+c≤18 ∵它能被11整除,∴a-b+c只能是11或0。 ①当a-b+c=11时,商是9a+b+1, 根据题意得9a+b+1=a+b+c,c=8a+1a只能是1,c=9, b=a+c-11=-1不合题意 ②当a-b+c=0时,商是9a+b 9a+b=a+b+c且a-b+c=11 解得 答这个数是198 例6.一个正整数十位上的数字比个位数大2,将这个数的各位数字的顺序颠倒过来,再加上原数,其和是8877,求这个正整数。 解: ∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877,∴可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2, 根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案 abc(c-2)从个位看(c-2)+a=7或17 +)(c-2)cba从千位看a+(c-2)=8(没进入万位) 8877可知(c-2)+a=7即c+a=9 (1)从十位上看b+c=7或17 从百位上看c+b=8(进入千位) 可知c+b=17 (2) (2)+ (1)得b-a=8
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