初中几何经典培优题型三角形Word文档下载推荐.docx
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4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
常见辅助线写法:
⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线,垂足为D⑶延长AB至C,使BC=AC⑷在AB上截取AC,使AC=DE⑸作∠ABC的平分线,交AC于D
⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点
例1
如图,AB=CD=1,∠AOC=60°
,证明:
AC+BD≥1。
ACOBD
例2
(xx年北京中考)如图,已知△ABC
⑴请你在BC边上分别取两点D、E,连接AD、AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明AB+AC>AD+AE。
例3
已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°
。
且AD=BE=CF=2。
求证:
S△OAB+S△OCD+S△OEF<3。
例4
如图1,在四边形ABCD中,连接对角线AC、BD,如果∠1=∠2,那么∠3=∠4。
仔细阅读以上材料,完成下面的问题。
如图2,设P为□ABCD内一点,∠PAB=∠PCB,求证:
∠PBA=∠PDA。
图1 图2
⑴集散思想:
有些几何题,条件与结论比较分散,通过添加适当的辅助线,
将图形中分散,远离了的元素聚集到有关的图形上,使它们相对集中,便于比较,建立关系,从而找出问题的解决途径。
⑵平移只能用来作为作辅助线的思路,具体做辅助线的时候不能直接说将
△ABC平移至△DEF。
1.在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点,且EG⊥FH,求证:
EG=FH。
AHDGEBCF
2.如图所示,P为平行四边形ABCD内一点,求证:
以AP、BP、CP、DP为边可以构成一
个四边形,并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。
3.如图,已知△ABC的面积为16,BC=8,现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置。
⑴当a=4时,求△ABC所扫过的面积;
⑵连接AE、AD,设AB=5,当△ADE是以DE为一腰的等腰三角形时,求a的值。
4.如图,AA′=BB′=CC′=1,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°
,求证:
S?
AOB?
?
S?
BOC?
COA?
3?
4。
如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°
,AH⊥EF,H为垂足,求证:
AH=AB。
△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,P是△ABC内的一点,且AP=3,CP=2,BP=1,求∠BPC的度数。
已知在△ABC中,AB=AC,P为三角形内一点,且∠APB>∠APC,求证:
PB<PC。
有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转⑴边相等时常见图形为正方形,等腰三角形和等边三角形等等⑵角度能拼成的特殊角指的是180°
,90°
等等
已知△ABC,∠1=∠2,AB=2AC,AD=BD。
求证:
DC⊥AC。
例5
△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°
,AB=AE,∠BAE=30°
BE=CE。
例6
在△ABC中,E、F为BC边上的点,已知∠CAE=∠BAF,CE=BF,求证:
AC=AB。
出现轴对称的时候可以考虑翻折,尤其注意有角平分线,有角相等或者出现特殊角的一半的时候,翻折是常用添加辅助线的思想。
强调:
旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路,具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC旋转或翻折至△DEF。
1.如图,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在O点处,并将纸板绕O点旋转,其半径分别交AB、AD于点M、N,求证:
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。
ANDMO
BC
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°
,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点,试判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程。
DCE
AB
3.如图,P是等边△ABC内一点,若AP=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数。
A34BP3C
4.已知:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,∠DAE=45°
⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
⑵当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明。
AA
E'
CCEDBBED
F
DDCEBCEB
5.如图,已知等腰直角三角线ABC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为E,求证:
BD=2CE。
A
DECB
6.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果AB=8,BC=10,求EC的长。
ADEBF(D)C
中点的妙用
一、倍长中线法
(北京文汇中学2009-2010期中测试题),AD是△ABC中BC边上的中线,若AB?
2,AC?
4,则AD的取值范围是___________。
DC
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF?
EF,求证:
AC?
BE。
AFEBDC
⑴如图1,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,点D在AB边上。
连接EC,取EC中点F,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并加以证明。
AEFDBC
图1
⑵如图2,将△BDE旋转至如图位置,使E在AB延长线上,D在CB延长线上,其他条件不变,则⑴中AF,DF的数量关系和位置关系是否发生变化,并加以证明。
ADBCFE
图2
已知四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证EFGH为平行四边形。
AHDEGBFC
如图,已知四边形ABCD中,AB?
CD,M、N分别为BC、AD中点,延长MN与AB、CD延长线交于E、F,求证∠BEM?
∠CFM
EFADB
MC
已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD?
∠ACE=90°
,连接DE,设M为DE的中点。
⑴求证:
MB?
MC;
⑵设∠BAD?
∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE移至图示位置,此时MB?
MC是否成立?
请证明你的结论。
ACEDBEMDBMCA
出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法⑴倍长中线法⑵构造中位线
⑶如果是直角三角形,经常还会构造斜边上的中线
例7
如图,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC中点,求证△BMD为等腰直角三角形。
BDEA
1.在△ABC中,AB?
12,AC?
30,求BC边上的中线AD的范围。
ABDC
2.在△ABC中,D为BC边上的点,已知∠BAD?
∠CAD,BD?
CD,求证:
AB?
AC。
ABDC
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,M是BC中点,∠B?
2∠C,如图,求证:
DM?
A12AB
BCD
14.已知△ABC中,AC=7,BC?
4,D为AB中点,E为边AC上一点,且?
AED?
90C,
2求CE的长。
BDAEC
5.在任意五边形ABCDE中,M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,K、L、分别为1MN、PQ的中点,求证:
KL平行且等于AE。
4
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