因式分解例题精选讲解综合练习题附答案.doc
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【因式分解】——例题精选讲解——综合练习题附答案
【例题精选】:
(1)
评析:
先查各项系数(其它字母暂时不看),确定5,15,20的最大公因数是5,确定系数是5,再查各项是否都有字母X,各项都有时,再确定X的最低次幂是几,至此确认提取X2,同法确定提Y,最后确定提公因式5X2Y。
提取公因式后,再算出括号内各项。
解:
=
(2)
评析:
多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3,且相同字母最低次的项是X2Y
解:
=
=
=
(3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
评析:
在本题中,y-x和x-y都可以做为公因式,但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y-x
解:
原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
(4)把分解因式
评析:
这个多项式有公因式2x3,应先提取公因式,剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式
解:
=2=2=
(5)把分解因式
评析:
首先提取公因式xy2,剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解,最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解,但比较麻烦。
解:
=xy2(x6-y6)=xy2[]=
=
(6)把分解因式
评析:
把(x+y)看作一个整体,那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式,并且为降幂排列,适合完全平方公式。
对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解,而要注意观察分析,善于把(x+y)代换完全平方公式中的a,(6Z)换公式中的
解:
==(x+y-6z)2
(7) 把分解因式
评析:
把x2-2y2和y2看作两个整体,那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式,但首末两项不是有理数范围内的完全平方项,不能直接应用完全平方公式,但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就是一个完全平方式。
解:
=
=
=
(8)分解因式a2-b2-2b-1
评析:
初看,前两项可用平方差公式分解。
采用“二、二”分组,原式=(a+b)(a-b)-(2b+1),此时无法继续分解。
再仔细看,后三项是一个完全平方式,应采用“一、三”分组。
解:
a2-b2-2b-1=a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)
一般来说,四项式“一、三”分解,最后要用“平方差”。
四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式,才是正确的分组方案。
(9) 把a2-ab+ac-bc分解因式
解法一:
a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
解法二:
a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)
(10)把分解因式
解法一:
=
解法二:
=
说明:
例
(2)和例(3)的解法一和解法二虽然分组不同,但却有着相同的内在联系,即两组中的对应系数成比例。
(2)题解法一1:
1,解法二也是1:
1;(3)题解法一是
1:
1,解法二是2:
(-3)
(11)分解因式
评析:
四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。
如是,就考虑“一、三”分组;不是,就考虑“二、二”分组
解法一:
=
=
解法二:
=
=
解法三:
=
=
(12)分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
评析:
本题将(a-b)看作一个整体,可观察出其中三项是完全平方式,可以“一、三”分组
解:
(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)
(13)分解因式8a2-5ab-42b28a-21b
解:
8a2-5ab-42b2a+2b
=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab
(14) 分解因式a6-10a3+16
解:
a6-10a3+16a3-2
=(a3-2)(a3-8)a3-8
=(a3-2)(a-2)(a2+2a+4)-8a3-2a3=-10a3
(15) 分解因式-x2+x+30
解:
-x2+x+30(先提出负号)x+5
=-(x2-x-30)x-6
=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x
(16) 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7
解:
12(x+y)2-8(x+y)-72(x+y)+1
=[2(x+y)+1][6(x+y)-7]6(x+y)-7
=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8
(17)把分解因式
评析:
此题是一个五项式,它能否分组分解,要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。
本题注意到后三项当把-1提出后,实际上是按立方差公式分解后的一个因式:
解:
=
=
=
(18) 把分解因式
评析:
把看成一组符合完全平方公式,而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。
解:
=
=
=
(19)分解因式
评析:
先不要把前面两个二次三项式的乘积展开,要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点,我们不妨设=a可得(a+1)(a+2)-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4,此时可分解为(a+4)(a-1)
解:
=
=
=
=
(20)把分解因式
解:
=
=
=
=
(21)把分解因式
评析:
它不同于例3
(1)的形式,但通过观察,我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有。
它又回到例3
(1)的形式,我们把第一项和第三项结合在一起,第二、四项结合在一起,都产生了(x2-3x)
解:
=
=
=
=
=
=
(22)把分解因式
评析:
不要轻易展开前四个一次因式的积,要注意到常数有1×6=2×3=6利用结合律会出现a2+6
解:
=
=
=
(23)把(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9分解因式
评析:
不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开,要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律,把(x+1)(x+7)和(x+3)(x+5)分别乘开就会出现的形式,这就不难发现(x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即(a+7)(a+15)-9的形式,展开后有a2+22a+96,利用十字相乘,得到(a+6)(a+16)而分解。
解:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9
=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]-9
=
以下同于例3
=
=+96
=
=
(24)把x(x+1)(x+2)(x+3)-24分解因式
评析:
通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现(x2+3x),第二和第三个一次式相乘出现(x2+3x)。
可以设x2+3x=a,会有a(a+2)-24,此时已易于分解
解:
x(x+1)(x+2)(x+3)-24
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]-24
=
=
=
=
(25)把分解因式
评析:
不要急于展开,通过观察前两项,发现它们有公共的x2+3x,此时把它看成一个整体将使运算简化。
解:
=
=
(26)把分解因式
评析:
我们可以观察到+前后的两项都有(a+b)和(c+d)。
据此可把它们看作为一个整体。
解:
=
=
=
=
(27)把分解因式
评析:
把(1+a)看成一个整体,第一项1与第二项a也合成一个整体(1+a)
解:
=
=
=
(28)把分解因式
评析:
此题容易想到分组分解法,但比较困难,考虑到
此时可设
再用待定系数法求出m和n
解:
设
=
比较两边对应系数得到
m+2n=2①
-3n+2m=11②
mn=-4③
由①和②得到m=4,n=-1代入③也成立
∴=(2x-3y+4)(x+2y-1)
(29)把分解因式
解:
=
=(x+4y+m)(x-2y+n)
=
有m+n=-4①
4n-2m=-10②
mn=3③
由①和②得到m=-3,n=-1代入③也成立
∴=(x+4y-3)(x-2y-1)
(30)当x+y=2时,求的值
评析:
∵x+y=2这是唯一的条件。
∴要从中找到x+y或有关(x+y)的表达式
解:
=(x+y)()+6xy
∵x+y=2
∴原式==
=2=8
(31)己知=2求的值
解:
=
∵=2
∴原式=2[
(2)2-3]=2
(32)己知x-y=2,求的值
解:
=
=
(x-y)-3a
=(x-y)+2a
∵x-y=a
∴原式=
【综合练习题】∶
一、一、填空(每空1分,共15分)
1、把一个多项式化为的形式,叫做因式分解。
2、()+2ab+1=()2
3、因式分解=()-4x2=()2-()2=()()
4、二次三项式=()()
5、立方和8(a-b)3+27=()()
6、(n是大于2的整数)中,各项的公因式是()
7、己知x2-2xy+1是完全平方式,则y=
8、(3x
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