实数知识点总结及习题练习.doc
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实数知识点总结
平方根、算数平方根和立方根(3—10分)
1、平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(0)
;注意的双重非负性:
-(<0)0
3、立方根
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数(平方根)单元习题练习
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板,请你用两刀把它裁成四块,然后拼成一个正方形,拼后的正方形边长为多少?
综合探究
探究一由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围
1.中被开方数为___________,根号下的被开方数必须是_____________才有意义,因此可列出不等式______________,的取值范围是______________.
2.要使有意义,需要列出不等式组为________________.的取值范围是______________.
3.若有意义,则的取值范围是______________.
答案:
1.,非负数,,.
2..
3..
探究二根据非负数性质求未知数的值
已知、为实数,且.
1.由于,都是非负数,结合已知,你能得到什么结论?
_________________________________________________________________________.
2.由1,你能求出的值吗?
_________________________________________________________________________.
答案:
1.∵,,,∴,.
2.由1得,,;,.∴.
探究三平方根与简单的一元二次方程
1.由可得_______________,
2.据1得,是196的_______________,所以______________.
3.由1,2的启示,请你试着求等式中的值.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
答案:
1..
2.平方根,.
3.由,得,∴,∴或.
探究四由平方根的意义确定字母的值
和都是的平方根,求和的值.
1.当与相等时,求和的值.
______________________________________________________________________.
2.当与互为相反数时,求和的值.
_____________________________________________________________________.
3.讨论总结:
的值为____________.
答案:
1.,得,,,.
2.,得,,,.
3.的值为1225或49.
探究五利用被开方数非负性求未知数的值
已知、都是有理数,且,求的平方根.
1.表示的_________________,则的范围是______________.
2.表示的_________________,则的范围是______________.
3.由1,2,得______________,_______________.
4.讨论总结:
的平方根是多少?
_________________________________________________________________.
答案:
1.算术平方根,.
2.算术平方根,3.
3.,.
4.∵,∴的平方根为.
探究六算术平方根与绝对值相综合题
已知,求的值.
1.由式子可以得出的取值范围是什么?
________________________________________________________________________.
2.由1,你能将等式中的绝对值去掉吗?
_______________________________________________________________________.
3.由2,你能求出的值吗?
_______________________________________________________________________.
4.讨论总结:
求的值.
_______________________________________________________________________.
答案:
1.∵,∴.
2.原式变形为,即.
3.,.
4.,∴.
探究七平方根的实际应用
一个开口的长方体盒子,是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后,再把它的边折起来做成的,如图,量得这个盒子的容积是150cm2,求原正方形的边长是多少?
1.由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm.
2.设原正方形的边长为cm,请你用表示盒子的容积.
________________________________.
3.由1,2的分析,请你列出方程,并解答,求原正方形的边长.
_________________________________________________________________________.
答案:
1.6.
2..
3.,,.∴或(舍去).即原正方形的边长为11cm.
随堂反馈
1.的平方根的数学表达式是()
A. B. C. D.
2.9的算术平方根是()
A. B.3 C. D.81
3.当时,的值是()
A.5 B. C. D.25
4.正方形M的面积是正方形N的面积的64倍,那么正方形M的边长是正方形N的边长的()
A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.2倍
5.一个数的算术平方根是它的本身,则这个数是______________.
6.若,则的算术平方根为______________.
7.代数式的最大值为______________.
8.已知,满足,求的平方根.
9.如果为正数,为整数,求的最大值及此时的值.
10.已知的平方根为,的平方根为,求的平方根.
参考答案
1.D2.B3.A4.B5.0,16.47.
8.∵,,,
∴,;,,
∴.∴,的平方根为.
9.∵为正数,
∴,.
因此的最大值为5,此时的值为4.
10.由题意,得解得
∴,的平方根为3.
平方根跟踪练习
(一)
一、选择题
1.下列各式中无意义的是()
A.B.C.D.
2.的算术平方根是()
A.B.C.D.
3.下列运算正确的是()
A.B.C.D.
二、填空题
4.若一个正方形的面积为13,则正方形的边长为___________.
5.小明房间的面积为10.8米2,房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成,每块地砖的边长是_________.
6.计算:
⑴=_________;⑵___________;⑶________;
⑷-=_______;⑸_______.
7.若下列各式有意义,在后面的横线上写出x的取值范围:
⑴________⑵_______
8.若,则_________.
9.一个正方形的面积扩大为原来的4倍,它的边长变为原来的倍,面积扩大为原来的9倍,它的边长变为原来的倍,面积扩大为原来的n倍,它的边长变为原来的_______倍.
10._______的算数平方根是它本身.
三、解答题
11.求下列各数的算术平方根:
⑴169⑵0.0256⑶⑷
12.要种一块面积为615.44的圆形草地以美化家庭,它的半径应是多少米?
(π取3.14)
平方根跟踪练习
(二)
一、选择题
1.下列说法中不正确的是()
A.是2的平方根B.是2的平方根
C.2的平方根是D.2的算术平方根是
2.的平方根是()
A.B.C.D.
3.“的平方根是”,用数学式子可以表示为()
A.B.C.D.
4.下列各式中,正确的个数是()
①;②;③的平方根是-3;
④的算术平方根是-5;⑤是的平方根.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.若a是的平方根,b的一个平方根是2,则代数式a+b的值为()
A.8B.0C.8或0D.4或-4
二、填空题
6.如果某数的一个平方根是-6,那么这个数为________.
7.如果正数的平方根为和,则的值是.
8.的算术平方根是,的平方根是.
9.若,则的平方根是.
三、解答题
10.求下列各式的值:
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
跟踪练习一答案
一、选择题
1.C.
2.C.
3.A.
二、填空题
4.
5.0.9
6.3;5;2;-4;3
7.x≥0;x≤5
8.1
9.2;3;
10.0和1
三、解答题
11.13;0.16;;2
12.14
跟踪练习二答案
一、选择题
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
二、填空题
6.36
7.4
8.23或-3
9.2或-2
三、解答题
10.⑴15⑵-0.02⑶
⑷-0.1⑸0.7⑹9
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