高中数学中对称性问题Word文档下载推荐.docx
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对称\点
、点\直
沁冬(对称中心
P(a,b)
l:
AxByC0
C:
f(x,y)0
原点(0,0)
(a,b)
A(x)B(y)C0
f(x,y)0
M(x),yo)
(2x°
a,2y°
b)
A(2x0x)B(2y°
y)C0
f(2x0x,2y°
y)0
x轴
AxB(y)C0
f(x,y)0
y轴
(a,b)
A(x)ByC0
直线xy
(b,a)
BxAyC0
f(x,y)0
(b,a)
B(x)A(y)C0
f(y,x)0
xym0
(bm,am)
A(ym)B(xm)C0
f(ym,xm)0
A(ym)B(xm)C0
f(ym,xm)0
点关于点的对称中心对称问题(点对称问题)直线关于点的对称
曲线关于点的对称对称冋题
点关于直线的对称轴对称问题(线对称问题)直线关于直线的对称
曲线关于直线的对称
兮);
据此可以解求点与点的
⑴点关于点的对称点问题
若点Ag,%),B(X2,y2),则线段AB中点M的坐标是(
中心对称,即求点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M'
的坐标(x,y),利用中点坐标公式可得
y亠"
(叫*少0)
M(兀Jj
班"
)财匕对P丄
A/U_V>
*
22
例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M'
的坐标是(4,1)
1点M(xo,y。
)关于点p(a,b)的对称点M'
的坐标(2ax。
,2by。
).
5
2点皿(心丫。
)关于原点的对称点M的坐标(2ax。
,2by°
)=(x。
,y。
)
(2)直线关于点对称
①直线L:
AxByC0关于原点的对称直线
设所求直线上一点为M(x,y),则它关于原点的对称点为M'
(x,y),因为M'
点在直线L上,故
有A(x)B(y)C0,即AxByC0;
AxByC。
关于某一点P(a,b)的对称直线I?
它的求法分两种情况:
1)、当P(a,b)在h上时,它的对称直线为过P点的任
一条直线。
2)、当P点不在li上时,对称直线的求法为:
解法
(一):
在直线l2上任取一点M(x,y),则它关于
P的对称点为M(2ax,2by),因为M点在l1上,把
M'
点坐标代入直线在li中,便得到I2的方程即为
A(2ax)B(2by)C0,简化为:
AxByC2aA2bB0.
解法
(二):
在li上取一点M(Xi,yJ,求出M关于P点的对称点M'
(2a^,2byj的坐标。
再
解法(三):
由K11K|2,可设li:
AxByC0关于点P(a,b)的对称直线为AxByC'
0
且|譽BbC|AaBbC'
|求设c'
从而可求的及对称直线方程。
A2B2.A2B2
(3)曲线关于点对称
曲线G:
f(x,y)0关于P(a,b)的对称曲线的求法:
设M(x,y)是所求曲线的任一点,则M点关
0上。
故对称曲线方程为f(2ax,2by)
于P(a,b)的对称点为(2ax,2by)在曲线f(x,y)
二、直线的对称
(1)
点关于直线的对称
y-n
X
L中得到ABC0①;
再由Kpp,B得L-b②,联立①、②可得到P'
点坐标。
22AaxA
|A;
Bb?
|"
By』①,再
A2B2A2B2
设对称点为P'
(x,y),由点到直线的距离公式有
由KpP,-得b^y-②,由①、②可得到P'
AaxA
(2)
直线li关于直线I的对称直线12
设直线I:
AxByC0,则I
关于x轴对称的直线是AxB(y)C0
关于y轴对称的直线是A(x)ByC0
关于yx对称的直线是BxAyC0
关于yx对称的直线是
A(y)B(x)C0
1)当li与I不相交时,则li//I//I2
Ki2可求出I2的方程。
在Ii上取一点M(x°
y°
)求出它关于I的对称点M'
的坐标。
再利用Ki
2)当li与I相交时,li、I、l2三线交于一点。
先解h与|组成的方程组,求出交点A的坐标。
则交点必在对称直线|2上。
再在|i上找一点B,点B的对称点B'
也在|2上,由A、B'
两点可求出直线I2的方程。
在li上任取一点卩(为,%),则P点关于直线I的对称点Q在直线I2上,再由PQ丄I,
KpQgKLi。
又PQ的中点在I上,由此解得为f(x,y),yig(x,y),把点(%,%)代入直线h的
方程中可求出l2的方程。
设li关于|的对称直线为I2,则I2必过li与I的交点,且I2到I的角等于I到li的角,从而求出l2的斜率,进而求出l2的方程。
例:
求直线|i:
2xy30关于直线I:
xyi0对称的直线L的方程
解:
设Mx,y为所求直线l2上任意一点,则其关于I对称的点M'
xi,yi在直线h上.
y%
xx1
(MM'
I,即Kmm'
CKi=-1)
0(MM'
的中在I上)
x1
y1
又Q2xy130
1y1x30
故所求直线方程为x
2y
(3)曲线关于直线对称
标,再代入Ci中,就可求得C2的方程。
x11--即为对称圆的方程
求圆心(
所求圆方程为y
0,0)
1
关于I对称点C(1,1)
x11
例:
求椭圆
x2
y
1关于直线I:
xy10对称椭圆的方程
解:
x,y
为所求椭圆上任意一点,则其关于I对称的点M'
x1,y1在x2
y_
1上.
X1
综合上述,求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。
求对称问题的通法是:
求对
称点一般采用,先设对称点P(x,y),再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件,列出
x,y的方程组,
解方程组所得的解就是对称点的坐标,⑵求对称直线一般是:
先设对称曲线上任一点
M(x,y),再利
用求对称点的方程求出M点的对称点M'
点坐标,将M'
点坐标代入已知曲线方程中,
所得的关于x,y
的关系式,就是所求对称曲线的方程。
通过上述研究,解析几何中的各种对称点,对称曲线(包括直线)列表如下:
对\点、称点\直对宀
(对称中心)
P(a,b)
L
C:
f(x,y)0
原点(。
,。
M(x。
』。
(2xoa,2y。
b)
A(2xox)B(2y。
f(2x0x,2y。
y)0
f(x,y)0
f(x,y)0
f(ym,xm)0
f(ym,xm)0
三、函数图像自身的对称
证明:
1)若yf(x)满足f(ax)f(bx),设P(xo,y°
)是yf(x)的图象上的任意一点,则
yf(xo),P(xo,yo)关于直线x的对称点是Q(ab“y。
由条件知f(abX。
)f(b(bX。
))f(x。
)y。
所以Q(abx),y。
)在yf(x)的图象上,故函数yf(x)的图象关于x对称.
2)若函数yf(x)的图象关于x对称.设P(x°
y。
)是yf(x)的图象上的任意一点,贝U
P(x。
,y。
)关于x—对称点Q(abx^y。
)也在yf(x)的图象上。
从而有
y。
f(Xo)f(abXo)。
令bx。
x则有f(ax)f(bx)
特例:
1当b=a时,函数yf(x)的图象关于xa对称yf(x)满足f(ax)f(ax)
2当a=0,b=2m时,函数yf(x)的图象关于xm对称yf(x)满足f(x)f(2mx)
③
当
a+b=0时,函数y
f(x)的图象关于
x0对称
yf(x)
满足
f(
ax)f(ax)或f(ax)
f(ax)
⑵函数
f(x)关于点(a,b)对称
f(ax)f(ax)
2b,或f(2a
x)f(x)
2b或
f(2ax)f(x)2b
简证:
设点(x^yj在yf(x)上,即y1f(x1),通过f(2ax)f(x)2b可知,
f(2axi)f(xi)2b,所以f(2axj2bf(xj2byi,所以点(2aXi,2byi)也
在yf(x)上,而点(2ax「2byj与(禺,%)关于(a,b)对称。
得证。
f(x)f(x)
f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)
关于直线x轴对称
关于直线x对称
周期函数,周期为a
四、两个函数图像的对称
yf(x)与yf(x)
换种说法:
yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)
yf(x)与yf(x)
关于x轴对称
关于直线yx对称
yf(ax)与yf(bx)
关于直线x丄丄对称
yf(ax)与yf(ax)或yf(x)与yf(2ax)
yf(x)与y2af(x)
yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a
关于直线ya对称
yf(x)与y2bf(2ax)
yf(x)与yg(x)若满足
f(x)g(2ax)2b
关于点(a,b)对称
五、周期性
1、一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
说明:
周期函数定义域必是无界的。
推广:
若f(xa)f(xb),则f(x)是周期函数,ba是它的一个周期
2、若T是周期,则kT(k0,kZ)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期
是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期。
如常函数f(x)C;
3、对于非零常数A,若函数yf(x)满足f(xA)f(x),则函数yf(x)必有一个周期为2A。
f(x2A)
f[x(xA)]f(xA)
[f(x)]
f(x)
•••函数y
f(x)的一个周期为2A。
4、对于非零常数
A,函数y
f(x)满足
f(x
A)1,
则函数y
f(x2A)f(xA
“、1
f(x)。
A)
5、对于非零常数
A)—
,则函数y
f(x)的一个周期为2A。
f(x2A)f(xAA)
f(xA)
6、已知函数f(x)的定义域为N,
且对任意正整数
x
都有f(x)f(xa)f(xa)(a
0)则函数的一个周期为6a
f(x)f(xa)f(xa)
f(xa)f(x)f(x2a)
f(x2a)
两式相加得:
f(xa)
f(x)f(x3a)f(x6a)
六、对称性和周期性之间的联系
性质1:
函数yf(x)满足f(ax)f(ax),f(bx)f(bx)(ab),期函数。
Tf(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)
f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)
•••f(2ax)f(2bx)
•••f(x)f(2b2ax)
•函数yf(x)是周期函数,且2b2a是一个周期。
性质2:
函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(a
周期函数。
(函数yf(x)图象有两个对称中心(a,-)、(b,-)时,函数
对称中心距离的两倍,是函数的一个周期)
由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c
f(bx)f(bx)cf(x)f(2bx)c
得f(2ax)f(2bx)
得f(x)f(2b2ax)
•函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。
性质3:
函数yf(x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴xb(a*b)时
求证:
函数yf(x)是周
b)时,函数yf(x)是
yf(x)是周期函数,且
,该函数也是周期函数,
且一个周期是4(ba)。
f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c
f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)
f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))
f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)
2cf(2b(2ax))2cf(2ax)
2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)
推论:
若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称,则f(x)是周期函数,
4(ba)是它的一个周期证明:
由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).
f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x]
f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]
f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).
举例:
ysinx等.
性质4:
若函数f(x)对定义域内的任意x满足:
f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。
(若
f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴,应注意二者的区别)
Qf(xa)f(xa)
f(x)f(x2a)
性质5:
已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb,贝Uyfx是以2a为周期的
函数
f(ax)bf(x)
f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)
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