同济大学高等数学第四章不定积分.docx
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同济大学高等数学第四章不定积分
第四章不定积分
前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中得第二个核心内容:
一元函数积分学.本章主要介绍不定积分得概念与性质以及基本得积分方法.
第1节不定积分得概念与性质
1、1不定积分得概念
在微分学中,我们讨论了求一个已知函数得导数(或微分)得问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为
则质点在时刻得瞬时速度表示为
.
实际上,在运动学中常常遇到相反得问题,即已知变速直线运动得质点在时刻得瞬时速度
求出质点得位移函数
.
即已知函数得导数,求原来得函数.这种问题在自然科学与工程技术问题中普遍存在.为了便于研究,我们引入以下概念.
1、1、1原函数
定义1如果在区间上,可导函数得导函数为,即对任一,都有
或,
那么函数就称为在区间I上得原函数.
例如,在变速直线运动中,,所以位移函数就是速度函数得原函数;
再如,,所以就是在上得一个原函数.所以就是在得一个原函数.
一个函数具备什么样得条件,就一定存在原函数呢?
这里我们给出一个充分条件.
定理1如果函数在区间上连续,那么在区间上一定存在可导函数,使对任一都有
.
简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都就是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数.
定理1得证明,将在后面章节给出、
关于原函数,不难得到下面得结论:
若,则对于任意常数,都就是得原函数.也就就是说,一个函数如果存在原函数,则有无穷多个.
假设与都就是得原函数,则,必有,即一个函数得任意两个原函数之间相差一个常数.
因此我们有如下得定理:
定理2若与都就是得原函数,则(为任意常数).
若,则(为任意常数)表示得所有原函数.我们称集合为得原函数族.由此,我们引入下面得定义.
1、1、2不定积分
定义2在区间上,函数得所有原函数得全体,称为在上得不定积分,
记作
.
其中称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.
由此定义,若就是得在区间上得一个原函数,则得不定积分可表示为
.
注
(1)不定积分与原函数就是两个不同得概念,前者就是个集合,后者就是该集合中得一个元素.
(2)求不定积分,只需求出它得某一个原函数作为其无限个原函数得代表,再加上一个任意常数.
例1求.
解因为所以.
例2求.
解
(1)因为所以.
(2)因为所以.
(3)因为所以
.
例3求.
解由于时,,所以就是在上得一个原函数,因此在内,.
又当时,,所以就是在上得一个原函数,因此在内,.
综上,.
例4在自由落体运动中,已知物体下落得时间为,求时刻得下落速度与下落距离.
解设时刻得下落速度为,则加速度(其中为重力加速度).
因此
又当时,,所以.于就是下落速度.
又设下落距离为,则.所以
又当时,,所以.于就是下落距离.
1、1、3不定积分得几何意义
设函数就是连续得,若,则称曲线就是函数得一条积分曲线.因此不定积分在几何上表示被积函数得一族积分曲线.
积分曲线族具有如下特点(如图4、1):
(1)积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到;
(2)积分曲线上在横坐标相同得点处得切线得斜率就是相同得,即在这些点处对应得切线都就是平行得.
图4-1
例5设曲线通过点,且其上任一点处得切线斜率等于这点横坐标得两倍,求此曲线方程.
解设曲线方程,曲线上任一点处切线得斜率,即就是得一个原函数.因为,又曲线过,所以
.
于就是曲线方程为
.
1、2基本积分公式
由定义可知,求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算,
我们把求不定积分得运算称为积分运算.既然积分运算与微分运算就是互逆得,那么很自然地从导数公式可以得到相应得积分公式.
例如,因=,所以().
类似可以得到其她积分公式,下面一些积分公式称为基本积分公式.
(k就是常数);
();
;
;
;
;
;
;
;
;
⑪,;
⑫;
⑬;
以上13个基本积分公式,就是求不定积分得基础,必须牢记.下面举例说明积分公式得应用.
例6求不定积分.
解.
以上例子中得被积函数化成了幂函数得形式,然后直接应用幂函数得积分公式求出不定积分.但对于某些形式复杂得被积函数,如果不能直接利用基本积分公式求解,则可以结合不定积分得性质与基本积分公式求出一些较为复杂得不定积分.
1、3不定积分得性质
根据不定积分得定义,可以推得它有如下两个性质.
性质1积分运算与微分运算互为逆运算
(1)或.
(2)或
性质2设函数与得原函数存在,则
.
易得性质2对于有限个函数得都就是成立得.
性质3设函数得原函数存在,为非零得常数,则
.
由以上两条性质,得出不定积分得线性运算性质如下:
.
例7求.
解
.
例8求.
解原式=.
例9求.
解原式.
例10求.
解
.
例11求.
解=.
注本节例题中得被积函数在积分过程中,要么直接利用积分性质与基本积分公式,要么将函数恒等变形再利用积分性质与基本积分公式,这种方法称为基本积分法.此外,积分运算得结果就是否正确,可以通过它得逆运算(求导)来检验,如果它得导函数等于被积函数,那么积分结果就是正确得,否则就是错误得.
下面再瞧一个抽象函数得例子:
例12设,求?
解由,可得,
从而.
习题4-1
1.求下列不定积分.
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
(9);(10);
(11);(12);
(13);(14);
(15);(16);
(17);(18).
2.已知某产品产量得变化率就是时间得函数,(,为常数).设此产品得产量函数为,且,求.
3.验证.
4.设,求?
第2节换元积分法与不定积分法
2、1换元积分法
上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质得直接积分法,这种方法所能计算得不定积分就是非常有限得.因此,有必要进一步研究不定积分得求法.这一节,我们将介绍不定积分得最基本也就是最重要得方法——换元积分法,简称换元法.其基本思想就是:
利用变量替换,使得被积表达式变形为基本积分公式中得形式,从而计算不定积分.
换元法通常分为两类,下面首先讨论第一类换元积分法.
2、1、1第一类换元积分法
定理1设具有原函数,可导,则有换元公式
.(4、2、1)
证明不妨令为得一个原函数,则.由不定积分得定义只需证明,利用复合函数得求导法则显然成立.
注由此定理可见,虽然不定积分就是一个整体得记号,但从形式上瞧,被积表达式中得也可以当做自变量得微分来对待.从而微分等式可以方便地应用到被积表达式中.
例1求.
解,
最后,将变量代入,即得
.
根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:
(1)将被积函数中得简单因子凑成复合函数中间变量得微分;
(2)引入中间变量作换元;
(3)利用基本积分公式计算不定积分;
(4)变量还原.
显然最重要得就是第一步——凑微分,所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法.
例2求.
解被积函数就是复合函数,中间变量,,这里缺少了中间变量得导数4,可以通过改变系数凑出这个因子:
.
例3求.
解为复合函数,就是中间变量,且,
.
对第一类换元法熟悉后,可以整个过程简化为两步完成.
例4求.
解.
注如果被积表达式中出现,,通常作如下相应得凑微分:
.
例5求.
解因为,亦即,所以
.
例6求.
解因为,所以
.
例7求.
解因为,所以
.
在例4至例7中,没有引入中间变量,而就是直接凑微分.下面就是根据基本微分公式推导出得常用得凑微分公式.
①.
②.
③.
④.
⑤.
⑥.
⑦.
⑧.
⑨.
⑩.
在积分得运算中,被积函数有时还需要作适当得代数式或三角函数式得恒等变形后,再用凑微分法求不定积分.
例8求.
解将函数变形,由,所以得到
.
例9求.
解
.
例10求.
解=.
同理,我们可以推得.
例11求.
解
.
例12求.
解
.
例13求.
解.
例14求.
解
.
同理,我们可以推得.
注对形如得积分,如果,中有奇数,取奇次幂得底数(如就是奇数,则取)与凑微分,那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数得多项式函数,从而可以顺利得计算出不定积分;如果,均为偶数,则利用倍角(半角)公式降幂,直至将三角函数降为一次幂,再逐项积分.
例15求.
解==
=.
一般得,对于形如下列形式
得积分(),先将被积函数用三角函数积化与差公式进行恒等变形后,再逐项积分.
例16求.
解因为,
所以
.
这就是一个有理函数(形如得函数称为有理函数,,均为多项式)得积分,将有理函数分解成更简单得部分分式得形式,然后逐项积分,就是这种函数常用得变形方法.下面再举几个被积函数为有理函数得例子.
例17求.
解先将有理真分式得分母因式分解,得.然后利用待定系数法将被积函数进行分拆.
设=,
从而,
分别将代入中,易得.
故原式==.
例18求.
解由,
令
两边同乘以,得
.
令得;令得;令,得.
所以
.
故
=
.
2、1、2第二类换元积分方法
定理2设就是单调,可导得函数,并且,又设具有原函数,则有换元公式,
其中,就是得反函数.
证明设得原函数为.记,利用复合函数及反函数求导法则得
则就是得原函数.所以
.
利用第二类换元法进行积分,重要得就是找到恰当得函数代入到被积函数中,将被积函数化简成较容易得积分,并且在求出原函数后将还原.常用得换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法与倒代换法.
一、三角函数代换法
例19求.
解设,,,
于就是=.
因为,所以
为求出,利用作辅助三角形(图4-2),求得,
所以.
图4-2
例20求.
解令,
=.
利用作辅助三角形(图4-3),求得
所以.
图4-3
例21求.
解当时,令,
=.
利用作辅助三角形(图4-4),求得,
所以,.
当时,令则,由上面得结果,得
=.
综上,
.
图4-4
注当被积函数含有形如,,得二次根式时,可以作相应得换元:
,将根号化去.但就是具体解题时,要根据被积函数得具体情况,选取尽可能简捷得代换,不能只局限于以上三种代换.
二、简单无理函数代换法
例22求.
解令,
=.
例23求.
解被积函数中出现了两个不同得根式,为了同时消去这两个根式,可以作如下代换:
令,则,,从而
.
例24求.
解为了去掉根式,作如下代换:
则,,从而
.
一般得,如果积分具有如下形式
(1),则作变换;
(2),则作变换,其中就是,得最小公倍数;
(3),则作变换.
运用这些变换就可以将被积函数中得根数去掉,被积函数就化为有理函数.
三、倒代换法
在被积函数中如果出现分式函数,而且分母得次数大于分子得次数,可以尝试利用倒代换,即令,利用此代换,常常可以消去被积函数中分母中得变量因子.
例25求.
解令,
=
.
例26求.
解设
于就是
当时,有
.
时,结果相同.
本例也可用三角代换法,请读者自行求解.
四、指数代换
例27求.
解设于就是
.
注本节例题中,有些积分会经常遇到,通常也被当作公式使用.承接上一节得
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