体 重 问 题.docx
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体重问题
体重问题
管理系朱方慧贾艳方史朝阳
摘要
运用了数学中的拟合方法,拟合是对不同类型事物之间关系之表象的抽象。
任何一个单一的关系必须依赖其他关系而存在,所有实际事物的关系都表现得非常复杂,这种方法就是对规律或趋势的拟合。
拟合的成果是模型,反映一般趋势,趋势表达的是“事物和关系的变化过程在数量上所体现的模式和基于此而预示的可能性”。
即是本题中身高与体重所体现的关系.
该问题是让我们运用数学思想和定理,来建立一个关于身高与体重的函数关系表达式.并在实例中进行检验,评价其合理性.
通过分析我们得出最为合理的一种假设,设其为指数函数.并根据假设经过绘图求解、验证得出关于身高与体重的函数模型为:
.经过分析该模型比较科学的反映出身高与体重的关系.但没有考虑过多因素的影响.因此,我们在衡量体重时应考虑诸多实际因素.
一、问题的背景及提出
近年来,在自然科学、社会科学以及经济、管理等领域有不少应用数学的成功范例,数学学科对其他学科的有效性,很大程度是通过建立数学模型来体现,数学建模是一种数学的思考方法,从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学工具,数学建模在广泛的实际背景支撑下,可广泛涉及到经典的和现代的各个数学分支.运用数学知识解决实际问题的能力,往往取决于自己建立数学建模的能力.数学建模能力是现代大学生应具备的能力.
体重是指人体的净重量。
不同年龄的体重能反映个体的发育及营养状况,也可用于群体营养状况的研究。
一般来说,当人体健康状况发生变化时,常伴有体重的变化。
因此,通过对体重变化的分析,可以综合反映出个体的健康状况。
处于不同年龄阶段的人,其体重通常有一个理想范围,然而,这一真正理想范围的获得通常较为困难。
我国正常男性平均体重为65kg,女性为55kg。
体重过重与许多疾病有联系。
随着人们审美观的发展,对体格发育有了新的认识,提出了关于标准体重及理想体重和超重等概念.
问题重述
通过分析题意作如下重述:
表一是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:
身高(cm)
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
根据表
(一)中提供的数据,要求我们用已经学过的一种函数,使它比较近似的反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系,并求出这个函数的解析式.
表二(实际采集到的20组样本)
性别
男
男
男
男
男
女
男
女
男
女
年龄
22
20
20
20
20
20
20
20
21
21
身高(cm)
176
174.5
176
180
176
167
178
168
181
162
体重(kg)
75
79
63
70
70
60
74
55
64
43
性别
女
男
男
男
男
男
女
女
男
女
年龄
21
21
22
21
22
22
21
21
22
22
身高(cm)
165
181
171
174
170
176
160
160
168
161
体重(kg)
55
70
62
68
65
65
55
44
55
55
根据表
(二),结合实例,验证求出的函数是否适合不同的年龄和性别.给出验证的方法、公式和标准,提出修正意见.
二、问题分析
根据实际情况,体重受身高、年龄、性别、饮食、地域、国家、环境的影响.不同身高、年龄、性别、国家、地域的人们的体重是有差别的.如:
中年人和儿童,日本人和美国人,中国的南方和北方.该题忽略以上因素的影响.
根据图表
(一)我们可以知道,本题属于拟合问题.表中提供的数据可得出如下函数图象:
通过分析,此图象在第一象限且呈递增趋势.我们得出四种假设:
假设一
通过该图象的走势与形状,我们假设它是一条直线,由于该直线全部位于第一象限,也就是,x,y,并且该图象与y轴的交点[我们设为],的范围为,其表达式为:
通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:
代入得
假设二
观察图象类似于二次函数曲线图象,我们做出第二种假设.其系数设为,常数项为.其必须满足条件为:
c1,其表达式为:
通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:
代入得
假设三
该图象又类似于三次函数在第一象限的走势,我们作出第三种假设.其系数设为常数项为,其必须满足的条件是:
,其表达式为:
通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:
由于所以三次项系数为,表达式变为:
假设四
分析图象又可得出第四种假设,由于该图象可由指数函数变换得出,故设其表达式为:
其中必须满足条件:
通过matlab软件得出数值(详细结果见附录),我们得出如下结论:
代入表达式可得:
根据假设绘制函数对比图象如下:
(注:
,,详图见附录).又分析可知:
假设一中的范围为与所求出的结果不符,故此种假设一不成立.又假设二中的范围是与所求出的结果不符故假设二不成立.然而假设三中与其必须满足的条件:
的范围和的范围不符,故假设三不成立.而假设四中所求结果与其范围:
完全符合故假设四成立.
又由图可知与原函数图象偏离最远的是图象、偏离较远的是图象、偏离较小的是、重合最多的是.所以函数
即为所拟合的函数也就是所求原函数的解析式.
三、模型建立及求解
由于体重受身高、年龄、性别等诸多因素的影响,很难找到一个适合每个人和每个年龄阶段的非常准确的公式来衡量.为此,只能选取影响体重最直接的因素—身高来建立一个基本的数学模型从宏观上反映体重与身高的关系.根据上述假设分析可得出身高与体重之间的简化模型是其中自变量表示身高,因变量表示体重.其图象如下:
根据上述分析可得出身高与体重之间的基本模型是两边取常用对数,得其简化模型是.其中自变量表示身高,因变量表示体重.其图象如下:
根据已得出的简化模型,运用拟合的数学思想,借助matlab软件,把采集到的数据样本中的身高
176
174.5
176
180
176
167
178
168
181
162
165
181
171
174
170
176
160
160
168
161
代入简化模型,得出验证过程如下:
其验证体重(kg)分别是:
64.2255,62.3554,64.2255,69.4912,64.2255,
53.7907,66.8065,54.8069,70.8737,48.7449,51.7125,70.8737,58.2009,61.7442,57.0655,64.2255,52.7414,46.8617,54.8609,47.7940
四、结论分析及检验
通过模型求解,得出实际体重与验证体重的对比数值如下表:
性别
男1
男2
男3
男4
男5
女1
男6
年龄
22
20
20
20
20
20
20
身高(cm)
176
174.5
176
180
176
167
178
实际体重(kg)
75
79
63
70
70
60
74
验证体重(kg)
64.2255
62.3554
64.2255
69.4912
64.2255
53.7909
66.8065.
误差
10.7745
16.6446
-1.225
0.5088
5.7745
6.2091
7.1935
性别
女2
男7
男8
男9
男10
男11
女3
年龄
21
21
22
21
22
22
21
身高
165
181
171
174
170
176
160
实际
55
70
62
68
65
65
55
验证
51.7125
70.8737
58.2009
61.7442
57.0655
64.2255
52.7414
误差
3.2875
-0.8737
3.7991
6.2558
7.9345
0.7745
2.2586
性别
男12
女4
男13
女5
女6
女7
年龄
21
21
22
22
20
21
身高
181
162
168
161
168
160
实际
64
43
55
55
55
44
验证
70.8738
48.7449
54.8609
47.7940
54.8609
46.8617
误差
-6.8737
-5.7449
0.1391
7.206
0.1391
-2.8617
通过误差分析,在此我们把误差控制在6kg以内,20个人的体重中有12人符合所建立的简化模型,也就是60%的人体重与身高符合简化模型,在此我们忽略了影响身高的因素年龄和性别,导致了误差的产生,我们可以假设年龄和性别相同的情况下,这一模型的适用性、合理性会更强.此公式的合理性就在于能够通过身高比较近似的反映出一个人的体重.据此,我们提出一些修正意见,在衡量一个人的体重时,应综合考虑地域、年龄、饮食等诸方面的因素.
由于采集样本中身高差异较大,相同身高的人数比例较少.所以在误差(误差3)允许的范围内采取以下分组:
①、共4人他们身高的平均值是;
160+162+161+160/4=160.75
②、共2人他们身高的平均值是;
167+165/2=166;
③、共3人他们的身高的平均植是:
170+168+168/3=168.6667
④、共3人他们的身高的平均植是:
171+174.5+174/3=173.1667
⑤、共4人他们的身高的平均植是:
176+176+176+176/4=176
⑥、共4人他们的身高的平均植是:
178+181+181+180/4=180
把六组身高平均值代入得出六组体重平均值,计算结果如下:
即他们的体重(kg)平均值分别为:
47.5592,52.7414,55.5865,
60.7389,64.2255,69.4912
根据题目中的要求,体重超过相同身高平均值的1.2倍为偏胖,底于0.8倍的为偏瘦.运用实际平均值/平均体重进行对比,过程如下:
第一组:
;;;;
由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常.
第二组:
;;
由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常.
第三组:
;;
;
由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常.
第四组:
;;
由于该组有一位同学超过相同身高平均值的1.2倍,为偏胖,其它均为正常.
第五组:
;;
;
由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常.
第六组:
;;
;
由于该组没有超过相同身高平均值的1.2倍底于0.8倍者,所以均为正常.
以下是从网上搜索到的现在流行的一些计算标准体重的公式:
公式一
男生58公斤+0.6(身高-166公分)=标准体重。
女生5
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