高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系Word格式.docx
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经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
?
平行?
?
共面直线
?
相交?
异面直线:
不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角,b,作直线b是两条异面直线,经过空间任一点Oa′∥ab′∥,①定义:
设a所成的角,′所成的锐角或直角叫做异面直线ba把′与ab()或夹角.
1/11
π?
0,?
.
②范围:
2?
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.平行公理:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6.等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互
补.
两种方法
异面直线的判定方法:
(1)判定定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线
是异面直线.
(2)反证法:
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线
异面.
三个作用
(1)公理1的作用:
①检验平面;
②判断直线在平面内;
③由直线在平面内判断
直线上的点在平面内.
(2)公理2的作用:
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的
方法.
(3)公理3的作用:
①判定两平面相交;
②作两平面相交的交线;
③证明多点共
线.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是().
A.空间中不同三点确定一个平面
B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C.一条直线和一个点能确定一个平面
2/11
D.梯形一定是平面图形
解析空间中不共线的三点确定一个平面,A错;
空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;
经过直线和直线外一点确定一个平面,C错;
故D正确.
答案D
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b().
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
D.不可能是相交直线C.不可能是平行直线
解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.
答案C
3.(2011·
浙江)下列命题中错误的是().
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余选项均是正确的.
4.(2011·
武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线().
A.12对B.24对C.36对D.48对
解析
3/11
如图所示,与AB异面的直线有BC;
CC,AD,DD四条,因为各棱具有相11111112×
4=12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线同的位置且正方体共有
2.对24()B
答案部分.5.两个不重合的平面可以把空间分成________4或答案3
考向一平面的基本性质的中点,C、Q、R分别是AB、ADB、B【例1】?
正方体ABCDACD中,P111111)、R的截面图形是(.、那么,正方体的过PQ.六边形DB.四边形C.五边形.三角形A
、R的截面要和正方体的每个面有交线.][审题视点过正方体棱上的点P、Q解析
如图所示,作RG∥PQ交CD于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交11BB于E,连接PE、RE为截面的部分外形.1同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD于F,连接QF,FG.1∴截面为六边形PQFGRE.
画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更4/11
快的确定交线的位置.
【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是________.
在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形;
③中可证四边形PQRS为平行四边形;
②中如图所示取AA与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正1六边形.
答案①②③
考向二异面直线
【例2】?
如图所示,
正方体ABCDABCD中,M、N分别是AB、BC的中点.问:
11111111
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)DB和CC是否是异面直线?
说明理由.11[审题视点]第
(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;
第
(2)问可采用反证法.
解
5/11
(1)不是异面直线.理由如下:
连接MN、AC、AC.
11∵M、N分别是AB、BC的中点,1111∴MN∥AC.又∵AA綉CC,1111∴AACC为平行四边形,11∴AC∥AC,∴MN∥AC,11∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线.证明如下:
∵ABCDABCD是正方体,1111∴B、C、C、D不共面.11假设DB与CC不是异面直线,11则存在平面α,使DB?
平面α,CC?
平面α,11∴D,B、C、C∈α,与ABCDABCD是正方体矛盾.111111∴假设不成立,即DB与CC是异面直线.11
证明两直线为异面直线的方法
(1)定义法(不易操作).
先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
【训练2】在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
解析如题干图
(1)中,直线GH∥MN;
6/11
图
(2)中,G、H、N三点共面,但M?
面GHN,因此直线GH与MN异面;
图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图(4)中,G、M、N共面,但H?
面GMN,
∴GH与MN异面.所以图
(2)、(4)中GH与MN异面.
答案
(2)(4)
考向三异面直线所成的角
【例3】?
(2011·
宁波调研)正方体ABCDABCD中.1111
(1)求AC与AD所成角的大小;
1
(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求AC与EF所成角的大小.11[审题视点]
(1)平移AD到BC,找出AC与AD所成的角,再计算.
(2)可证AC11111与EF垂直.
(1)如图所示,连接AB,BC,由ABCDABCD是正方体,111111易知AD∥BC,从而BC与AC所成的角就是AC与AD所成的角.1111∵AB=AC=BC,11∴∠BCA=60°
1即AD与AC所成的角为60°
1
(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCDABCD中,1111AC⊥BD,AC∥AC,117/11
∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,∴EF⊥AC.
∴EF⊥AC.
11即AC与EF所成的角为90°
11
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:
利用图中已有的平行线平移;
利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;
补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
【训练3】A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
(1)证明假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)解
如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
1在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°
,即异面直线EF与BD所
2成的角为45°
考向四点共线、点共面、线共点的证明
【例4】?
正方体
8/11
ABCDABCD中,E、F分别是AB和AA的中点.求证:
11111
(1)E、C、D、F四点共面;
1
(2)CE、DF、DA三线共点.1[审题视点]
(1)由EF∥CD可得;
1
(2)先证CE与DF相交于P,再证P∈AD.1证明
(1)如图,连接EF,CD,AB.11
∵E、F分别是AB、AA的中点,1∴EF∥BA.
1又AB∥DC,∴EF∥CD,111∴E、C、D、F四点共面.1
(2)∵EF∥CD,EF<CD,11∴CE与DF必相交,设交点为P,1则由P∈CE,CE?
平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADDA.
11又平面ABCD∩平面ADDA=DA,11∴P∈直线DA,∴CE、DF、DA三线共点.1
要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在此直线上.
9/11
【训练4】如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中CFCG2点,F、G分别是边BC、CD上的点,且==,求证:
三条直线EF、GH、
3CBCDAC交于一点.
证明∵E、H分别为边AB、AD的中点,
1CFCG2∴EH綉BD,而==,
3CDCB2FG2∴=,且FG∥BD.
3BD∴四边形EFGH为梯形,从而两腰EF、GH必相交于一点P.
∵P∈直线EF,EF?
平面ABC,∴P∈平面ABC.
同理,P∈平面ADC.
∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上,故EF、GH、AC三直线交于一点.
阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误
【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.
【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.
【示例】?
四川)l,l,l是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是312().
A.l⊥l,l⊥l?
l∥l321312B.l⊥l,l∥l?
l⊥l312312C.l∥l∥l?
l,l,l共面332112D.l,l,l共点?
l,l,l共面31231210/11
受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况.错因C乙同学:
甲同学:
A实录
D.
丙同学:
错;
两平行线A正解在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故正确;
相互平行B中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,的三条直错;
共点的三条直线不一定共面,C线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故错.如三棱锥的三条侧棱,故DB
答案)
江西【试一试】(2010·
所成的角都AAAD,l与棱AB,作直线过正方体ABCDABCD的顶点Al,使11111).l可以作(相等,这样的直线2条B.A.1条
条4条D.C.3所成的角都AA、AD,AC,显然AC与棱AB[尝试解答]如图,连结体对角线11相等,所成角的正切值都为2.联想正方体的
其他体对角线,如连结BD,则BD与棱BC、BA、BB所成的角都相等,111∵BB∥AA,BC∥AD,11∴体对角线BD与棱AB、AD、AA所成的角都相等,同理,体对角线AC、DB1111也与棱AB、AD、AA所成的角都相等,过A点分别作BD、AC、DB的平行线1111都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
11/11
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- 高考 一轮 复习 空间 直线 平面 之间 位置 关系
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