第1章 习题解答Word文件下载.docx
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刘威学过法语;
⑹ p:
你看电影;
我看电影;
⑺ p:
我看电视;
我外出;
r:
我睡觉;
⑻ p:
天下大雨;
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭,一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。
⑴ p:
他吃饭;
他听音乐;
原命题符号化为:
p∧q
3是素数;
2是素数;
p∨q
地球上有树木;
人类能生存;
p→q
8是偶数;
8能被3整除;
p↔q
停机;
语法错误;
程序错误;
q∨r→p
四边形ABCD是平行四边形;
四边形ABCD的对边平行;
p↔q。
a是偶数;
b是偶数;
a+b是偶数;
p∧q→r
4.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。
⑴ 如果3+3=6,则雪是白的。
⑵如果3+3≠6,则雪是白的。
⑶如果3+3=6,则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。
⑸
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是
是无理数。
(假定是10进制)
⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。
设p:
3+3=6。
雪是白的。
⑴ 原命题符号化为:
p→q;
该命题是真命题。
⑵ 原命题符号化为:
⑶ 原命题符号化为:
该命题是假命题。
⑷ 原命题符号化为:
是无理数;
加拿大位于亚洲;
p↔q;
2+3=5;
两圆O1,O2的面积相等;
两圆O1,O2的半径相等;
王小红心情愉快;
王小红唱歌;
习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)
⑵(p∧(q→r)
⑶((p→q)↔(r∨s))
⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。
⑴⑶⑸是合式公式;
⑵⑷不是合式公式。
2.设p:
天下雪。
我将进城。
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪,我也没有进城。
⑵如果我有时间,我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。
⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵¬
(r∨q)
⑶q↔(r∧¬
p)
⑷(q→r)∧(r→q)
⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等,将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去,他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
⑴p:
你给我写信;
信在途中丢失;
(p∧q)∨(p∧q)。
张三去;
李四去;
他去;
p∧q→r。
我们划船;
我们跑步;
(p∧q)。
你来了;
他唱歌;
你伴奏;
p→(q↔r)。
5.用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城,除非下雨。
⑶仅当你走,我将留下。
上午下雨;
我去看电影;
我在家读书;
s:
我在家看报;
(p→q)∧(p→r∨s)。
我今天进城;
天下雨;
q→p。
你走;
我留下;
习题1.3
1.设A、B、C是任意命题公式,证明:
⑴AA
⑵若AB,则BA
⑶若AB,BC,则AC
证明:
⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式,由等价式的定义可知AA成立。
⑵因为AB,由等价的定义可知A↔B是一个永真式,再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式,所以,BA成立。
⑶对A、B、C的任一赋值,因为AB,则A↔B是永真式,即A与B具有相同的真值,又因为BC,则B↔C是永真式,即B与C也具有相同的真值,所以A与C也具有相同的真值;
即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式,
⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗?
⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗?
⑶若¬
A¬
B,AB一定成立吗?
⑴不一定有AB。
若A为真,B为假,C为真,则A∨CB∨C成立,但AB不成立。
⑵不一定有AB。
若A为真,B为假,C为假,则A∧CB∧C成立,但AB不成立。
⑶一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)↔(q∨p)
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r
⑸((¬
p→(p∧¬
q))→r)∨(q∧¬
r)
⑴ q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24
p
q
q∧(p→q)
q∧(p→q)→p
1
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是:
00,10,11,使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是:
01。
⑵ p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。
表1.25
r
q∨r
p→(q∨r)
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式p→(q∨r)成假的赋值是:
100。
⑶ (p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。
表1.26
q∨p
(p∨q)↔(q∨p)
所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真,即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。
⑷ (p∧⌝q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。
表1.27
⌝q
p∧⌝q
r∧q
(p∧⌝q)∨(r∧q)
(p∧⌝q)∨(r∧q)→r
使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成假的赋值是:
⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28
⌝p→(p∧⌝q)
(⌝p→(p∧⌝q))→r
q∧⌝r
((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)
使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是:
4.用真值表证明下列等价式:
⑴⌝(p→q)p∧⌝q
证明⌝(p→q)p∧⌝q的真值表如表1.29所示。
表1.29
⌝(p→q)
由上表可见:
⌝(p→q)和p∧⌝q的真值表完全相同,所以⌝(p→q)p∧⌝q。
⑵p→qq→p
证明p→qq→p的真值表如表1.30所示。
表1.30
⌝p
q→p
p→q和q→p的真值表完全相同,所以p→qq→p。
⑶⌝(p↔q)p↔⌝q
证明⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表如表1.31所示。
表1.31
⌝(p↔q)
p↔⌝q
⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表完全相同,所以⌝(p↔q)p↔⌝q。
⑷p→(q→r)(p∧q)→r
证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。
表1.32
q→r
p→(q→r)
(p∧q)→r
p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)⌝p→(p→⌝q)
证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33
p→(q→p)
p→⌝q
⌝p→(p→⌝q)
p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p→(q→p)⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)(p∨q)∧⌝(p∧q)
证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34
⌝(p∧q)
(p∨q)∧⌝(p∧q)
⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同,所以⌝(p↔q)(p∨q)∧⌝(p∧q)
⑺⌝(p↔q)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)
证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35
⌝p∧q
(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)
⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同,所以⌝(p↔q)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)(p∧⌝q)→r
证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36
(p∧⌝q)→r
p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同,所以p→(q∨r)(p∧⌝q)→r。
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴⌝(p→q)
⌝(⌝p∨q)(条件等价式)
p∧⌝q(德·
摩根律)
⑵q→p
q∨p(条件等价式)
q∨p(双重否定律)
p∨q(交换律)
p→q(条件等价式)
⑶⌝(p↔q)
⌝((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)
⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))(条件等价式)
(p∧⌝q)∨(q∧⌝p)(德·
((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p)(分配律)
(p∨q)∧(⌝q∨⌝p)(分配律)
(⌝p∨⌝q)∧(q∨p)(交换律)
(p→⌝q)∧(⌝q→p)(条件等价式)
p↔⌝q(双条件等价式)
⑷p→(q→r)
⌝p∨(⌝q∨r)(条件等价式)
(⌝p∨⌝q)∨r(结合律)
⌝(p∧q)∨r(德·
(p∧q)→r(条件等价式)
⑸p→(q→p)
⌝p∨(⌝q∨p)(条件等价式)
T
p∨(⌝p∨⌝q)(条件等价式)
所以p→(q→p)⌝p→(p→⌝q)
⑹⌝(p↔q)
⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))(例1.17)
(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)(德·
(p∨q)∧⌝(p∧q)(德·
所以⌝(p↔q)(p∨q)∧⌝(p∧q)
⑺⌝(p↔q)
(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)(德·
⑻p→(q∨r)
⌝p∨(q∨r)(条件等价式)
(⌝p∨q)∨r(结合律)
⌝(p∧⌝q)∨r(德·
(p∧⌝q)→r(条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律:
(p∨q)∨rp∨(q∨r),(p∧q)∧rp∧(q∧r)
证明结合律的真值表如表1.37和表1.38所示。
表1.37
(p∨q)∨r
p∨(q∨r)
表1.38
(p∧q)∧r
q∧r
p∧(q∧r)
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律:
p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r),
p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)
证明合取对析取的分配律的真值表如表1.39所示,析取对合取的的分配律的真值表如表1.40所示。
表1.39
p∧(q∨r)
p∧r
(p∧q)∨(p∧r)
表1.40
p∨(q∧r)
p∨r
(p∨q)∧(p∨r)
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式:
p→q⌝q→⌝p
证明假言易位式的真值表如表1.41所示。
表1.41
⌝q→⌝p
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式:
p↔q⌝p↔⌝q
证明双条件否定的真值表如表1.42所示。
表1.42
⌝p↔⌝q
由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题1.4
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(p∨q)→q
(p∨q)∨q(条件等价式)
(p∧q)∨q(德·
q(可满足式)(吸收律)
⑵(p→q)∧q
(p∨q)∧q(条件等价式)
(p∧q)∧q(德·
F(永假式)(结合律、矛盾律)
⑶(p→q)∧p→q
(p∨q)∧p→q(条件等价式)
(p∧p)∨(q∧p)→q(分配律)
(q∧p)→q(同一律、矛盾律)
(q∧p)∨q(条件等价式)
(q∨p)∨q(德·
T(永真式)(零律、排中律)
⑷(p→q)∧q
q(可满足式)(吸收律)
⑸(p→q)→(q→p)
(p→q)→(p→q)(假言易位式)
T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)(条件等价式)
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r)(德·
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r))(分配律)
(p∧q)∨(p∨q∨r)(同一律、排中律、零律)
(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q)(分配律)
⑺p→(p→q)
p∨(p∨q)(条件等价式)
⑻p→(p∨q∨r)
p∨(p∨q∨r)(条件等价式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表1.43所示。
由表1.43可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。
表1.43
p∧(p→q)
(p∧(p→q))→q
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p→q))→p的真值表如表1.44所示。
由表1.44可以看出(q∧(p→q))→p是重言式。
表1.44
(q∧(p→q))→p
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧(p∨q))→q的真值表如表1.45所示。
由表1.45可以看出(p∧(p∨q))→q是重言式。
表1.45
p
p∧(p∨q)
(p∧(p∨q))→q
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