高中数学考点卡片.docx
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高中数学考点卡片.docx
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高中数学考点卡片
考点卡片
1.集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念:
1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集;A⊆B;如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,即A⊂B;
2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,即A=B.
【解题方法点拨】
1.按照子集包含元素个数从少到多排列.
2.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.
3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.
4.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.
【命题方向】通常命题的方式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集的个数,简易逻辑等知识相结合命题.
2.必要条件、充分条件与充要条件的判断
【知识点的认识】
正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念本质的把握是本节的难点.
1.充分条件:
对于命题“若p则q”为真时,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p⇒q”,称p为q的充分条件.意义是说条件p充分保证了结论q的成立,换句话说要使结论q成立,具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件.如p:
x≥6,q:
x>2,p是q成立的充分条件,而r:
x>3,也是q成立的充分条件.
必要条件:
如果q成立,那么p成立,即“q⇒p”,或者如果p不成立,那么q一定不成立,也就是“若非p则非q”,记作“¬p⇒¬q”,这是就说条件p是q的必要条件,意思是说条件p是q成立的必须具备的条件.
充要条件:
如果既有“p⇒q”,又有“q⇒p”,则称条件p是q成立的充要条件,或称条件q是p成立的充要条件,记作“p⇔q”.
2.从集合角度看概念:
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q表示,那么
①“p⇒q”,相当于“P⊆Q”.即:
要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行.
②“q⇒p”,相当于“P⊇Q”,即:
为使x∈Q成立,必须要使x∈P﹣﹣缺它不行.
③“p⇔q”,相当于“P=Q”,即:
互为充要的两个条件刻画的是同一事物.
3.当命题“若p则q”为真时,可表示为,则我们称p为q的充分条件,q是p的必要条件.这里由,得出p为q的充分条件是容易理解的.但为什么说q是p的必要条件呢?
事实上,与“”等价的逆否命题是“”.它的意义是:
若q不成立,则p一定不成立.这就是说,q对于p是必不可少的,所以说q是p的必要条件.
4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命题p等价于命题q,那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立;同时有命题q成立的充要条件是命题p成立.
【解题方法点拨】
1.借助于集合知识加以判断,若P⊆Q,则P是Q的充分条件,Q是的P的必要条件;若P=Q,则P与Q互为充要条件.
2.等价法:
“P⇒Q”⇔“¬Q⇒¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.
3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:
其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”连接.
【命题方向】
充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系,它是中学数学最重要的数学概念之一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题.
3.函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.
求解函数定义域的常规方法:
①分母不等于零;
②根式(开偶次方)被开方式≥0;
③对数的真数大于零,以及对数底数大于零且不等于1;
④指数为零时,底数不为零.
⑤实际问题中函数的定义域;
【解题方法点拨】
求函数定义域,一般归结为解不等式组或混合组.
(1)当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)当函数是由实际问题给出时,其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义,还要有实际意义(如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等).(3)若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的,则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集,则函数不存在.(4)抽象函数的定义域:
①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的;②函数g(x)中的自变量是x,所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围.
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现,也可以是大题中的一小题.
4.函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.A是函数的定义域.
【解题方法点拨】
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法:
配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.
无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域.
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强.
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一,有时在函数与导数的压轴题中出现,是常考题型.
5.函数单调性的判断与证明
【知识点的认识】
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤:
①取值;②作差;③变形;④确定符号;⑤下结论.
利用函数的导数证明函数单调性的步骤:
第一步:
求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域,若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域.
第二步:
求函数f(x)的导数f′(x),并令f′(x)=0,求其根.
第三步:
利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列表.
第四步:
由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性;求极值、最值.
第五步:
将不等式恒成立问题转化为f(x)max≤a或f(x)min≥a,解不等式求参数的取值范围.
第六步:
明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看,函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高;客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间,研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.
6.函数单调性的性质
【知识点的认识】
所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减,即在某个定义域内,函数的值域随着自变量的增大而增大或者减小,那么我们就说这个函数具有单调性.它是求函数值域或者比较大小的常用工具.
【解题方法点拨】
定义法、导数法、性质法
①定义法:
在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
②导数法:
(当函数在所考察区间内可微(可导)时,才能利用导数研究它的单调性)若f'(x)>0则f(x)单调上升,则函数严格单调递增(如果存在有限个孤立的点的导函数为0仍为递增函数).
③性质法:
n个单调递增(递减)的函数的和仍为递增(递减)函数
【命题方向】函数单调性的应用.
作为一个工具,凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性,并对一般常见函数的单调性有清醒的认识,这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函数来求解.
7.函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标,求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值,然后进行比较可得.
【解题方法点拨】
①基本不等式法:
如当x>0时,求2x+
的最小值,有2x+
≥2
=8;
②转化法:
如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和,易知最小值为2;
③求导法:
通过求导判断函数的单调性进而求出极值,再结合端点的值最后进行比较.
【命题方向】
本知识点是常考点,重要性不言而喻,而且通常是以大题的形式出现,所以务必引起重视.本知识点未来将仍然以复合函数为基础,添加若干个参数,然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等.
8.函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件(如恒大于0等),此时,函数中的参数成为限制了这一可能性(就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件),因此,适当的分离参数能简化解题过程.例:
要使函数f(x)=ax^2+1恒大于0,就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题,常用的方法是分离参变量和求导.
例:
f(x)=x2+2x+3≥ax,(x>0)求a的取值范围.
解:
又题意可知:
a≤
恒成立
即a≤x+
+2
⇒a≤2
+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题,它比较全面的考查了导数的应用,突出了导数的工具性作用.
9.指数函数单调性的应用
【知识点的认识】
1、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质:
0<a<1a>1
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响:
①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:
当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当0<a<l时,底数越小,函数图象在第一象限越靠近x轴.
②底数对函数值的影响如图.
③当a>0,且a≠l时,函数y=ax与函数y=
的图象关于y轴对称.
3、利用指数函数的性质比较大小:
若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较:
若底数不同而指数相同,用作商法比较;
若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值.
10.对数函数的定义域
【知识点归纳】
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R.
定义域:
(0,+∞)
11.函数的零点
【函数的零点】
一般地,对于函数y=f(x)(x∈R),我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个点,而是一个实数.
【解法﹣﹣二分法】
①确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度;②求区间(a,b)的中点x1;③计算f(x1);
④若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;⑤若f(a)f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));⑥若f(x1)f(b)<0,则令a=x1.(此时零点x0∈(x1,b)⑦判断是否满足条件,否则重复
(2)~(4)
【总结】
零点其实并没有多高深,简单的说,就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点,另外如果在(a,b)连续的函数满足f(a)•f(b)<0,则(a,b)至少有一个零点.这个考点属于了解性的,知道它的概念就行了.
12.函数最值的应用
【函数最值的应用】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低,如何用料最少,如何占地最小等等的问题,这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外,最值可分为最大值和最小值.
【函数最值得应用】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题,具体的说是转化为函数最值问题,这里面需要同学们要具有转化思维,具有一定的建模能力,在很多高考题中也常常以大题的形式出现,所以务必引起重视.这里我们以具体的例题来讲解.
例:
城关中学要建造一个长方形游泳池,其容积为4800立方米,深为3米,如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池才能使总造价最低?
设池壁造价为每平方米m元,则最低造价为多少?
解:
设水池底面的长为x米,宽为4800÷3x米,总造价为y,则
=2400m+6(
)m…(6分)
求导可得
令
,可得x=40…(11分)
∴函数在(0,40)上单调递增,在(40,+∞)上单调递减
∴当池底长为40米,宽为40米时,总造价最低为2880m元.
这是工程上一个很常见的成本最低的问题,也很有代表性,在这个立体当中,我们要做的第一步是构建数学模型,把求成本最低的问题转化为求函数的最小值,这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系,从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数,这也是我们常用的方法.第二步构建函数,然后运用数学方法求解,这个是重点,求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性.
【高考预测】
应用题紧贴实际,很能体现学以致用,是出题老师很喜欢的一种题型,解答这种题需要考生先苦练基本功,会求一般函数的最值;然后也具备基本的建模能力,在文字当中找到它们的内在逻辑关系,最后以函数的形式表达出来.
13.利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义:
(1)极大值:
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点;
(2)极小值:
一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点.
2、极值的性质:
(1)极值是一个局部概念,由定义知道,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;
(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
3、判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若x0满足f′(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
4、求函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值.
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点:
(1)按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导).
(2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
(3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
(4)若函数f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有
限个极值点时,函数f(x)在[a,b]内的极大值点、极小值点是交替出现的,
(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点.
14.不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
(1)作差:
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);
(3)分析法;
(4)平方法;
(5)分子(或分母)有理化;
(6)利用函数的单调性;
(7)寻找中间量或放缩法;
(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
【典型例题分析】
方法一:
作差法
典例1:
若a<0,b<0,则p=
与q=a+b的大小关系为( )
A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q
解:
p﹣q=
﹣a﹣b=
=(b2﹣a2)
﹣
,
∵a<0,b<0,∴a+b<0,ab>0,
若a=b,则p﹣q=0,此时p=q,
若a≠b,则p﹣q<0,此时p<q,
综上p≤q,
故选:
B
方法二:
利用函数的单调性
典例2:
三个数
,
,
的大小顺序是( )
A.
<
<
B.
<
<
C.
<
<
D.
<
<
解:
由指数函数的单调性可知,
>
,
由幂函数的单调性可知,
>
,
则
>
>
,
故
<
<
,
故选:
B.
15.其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:
正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例:
①一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:
先移项通分标准化,则
.
(3)无理不等式:
转化为有理不等式求解.
(4)指数不等式:
转化为代数不等式
(5)对数不等式:
转化为代数不等式
(6)含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值;
②应用数形思想;
③应用化归思想等价转化.
注:
常用不等式的解法举例(x为正数):
16.不等式
【知识点的知识】
1、不等式的基本性质:
(1)对于任意两个实数a,b,有且只有以下三种情况之一成立:
①a>b⇔a﹣b>0;
②a<b⇔a﹣b<0;
③a=b⇔a﹣b=0.
(2)不等式的基本性质
①对称性:
a>b⇔b<a;
②传递性:
a>b,b>c⇒a>c;
③可加性:
a>b⇒a+c>b+c.
④同向可加性:
a>b,c>d⇒a+c>b+d;
⑤可积性:
a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;
⑥同向整数可乘性:
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
⑦平方法则:
a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1);
⑧开方法则:
a>b>0⇒
(n∈N,且n>1).
2、几个重要不等式
3、几个著名不等式:
17.绝对值不等式
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|﹣a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a,或x<﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
(1)|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c;
(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c;
(3)|x﹣a|+|x﹣b|≥c(c>0)和|x﹣a|+|x﹣b|≤c(c>0)型不等式的解法:
方法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.
方法二:
利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
方法三:
通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【解题方法点拨】
1.不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A(a),B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数,只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解.
2.不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x﹣a|+|x﹣b|>m或|x﹣a|+|x﹣b|<m(m为正常数),利用实数绝对值的几何意义求解较简便.
18.绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|﹣a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a,或x<﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
(1)|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c;
(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c;
(3)|x﹣a|+|x﹣b|≥c(c>0)和|x﹣a|+|x﹣b|≤c(c>0)型不等式的解法:
方法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.
方法二:
利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
方法三:
通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法:
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
2.解绝对值不等
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