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对体验数学的理性思考
对“体验数学”的理性思考
“让学生体验数学”不仅是《数学课程标准》提出的过程性目标,而且已成为时下数学教坛的流行语。
流行的往往容易泛化而失去其本质。
因此,对体验数学的理性思考就显得尤为重要。
也就是说,只有理解了什么是体验,为什么要体验,体验什么,才能在教学实践中有意识地采取各种体验的策略,真正达到让学生体验数学的教学目标。
一
数学学习中的体验是指学生个体在数学活动中,通过行为、认知和情感的参与,获得对数学事实与经验的理性认知和情感态度。
首先,体验是对学习个体的重视。
包括个体的各种生活经验、独特的思维方式和情感态度。
因为真正有价值的学习是以学生个体经验为基础的,是学生对知识主动建构的过程,更是使学生整个精神世界发生变化的过程。
任何外力的强迫都达不到学习的效果。
其次,体验是学习个体在数学活动中的行为、认知与情感的整体参与。
数学课堂上的行为具体表现为:
看一看、摸一摸、摆一摆、拆一拆、拼一拼、折一折、剪一剪、围一围、画一画等各种形式的感官活动。
但感官活动获得的只是经验。
而个体的感觉经验往往是纷繁复杂的,有时甚至是错误的。
数学学习的对象是已经作为普遍真理的数学知识,它既源于个体经验,又独立于个体经验而存在。
因此,仅仅是各种感官活动,而没有认知与情感的参与,没有对数学活动的理性的抽象与反思,没有激发起对数学活动的渴望与信心,是不能掌握数学的。
体验除了感官活动,还需要猜想、类比、分析、归纳、推理等各种思维活动。
所以,课堂教学中,教师指令性的、没有思考空间的各种操作活动并不是体验,它仅仅是经历而已。
再次,体验中的数学活动包括合作与交流。
这是因为数学建构活动有其社会性质,也就是说,“个人创造的数学必须取决于数学共同体的‘裁决’,只有为数学共同体所一致接受的数学概念、方法、问题等,才能真正成为数学的成分”。
因此,个体的经验要与同伴和教师交流与分享,才能达到共同建构的目的。
我们之所以强调在数学学习中个体经验与感官活动的重要性,是因为过去我们忽视了个体经验对数学学习的价值。
这种忽视是教育的传承性导致的,它可以溯源到课程设计的理念。
长期以来,我们课程的内容是以科学为基础、以学科课程的形式发展起来的,它是对普遍规律的追求,凌驾于人们的具体生活和直接经验之上。
这种课程片面强调理论性和普遍性知识的训练,忽视对个别事物的具体知识以及学生个体所展示的特殊经验的关照。
同时,大班级授课的组织形式更使得关照学生的个体经验成了教学童话。
尽管如此,我们仍把建立在学生个体经验基础上的数学学习作为教学理想。
而现在,我们更强烈地感受到这种理想成为现实的重要价值。
它至少有三种依据:
一是数学学科依据。
它基于人们对数学本质认识的深刻变化。
什么是数学?
恩格斯说,数学是研究客观世界数量关系、空间形式及其关系的科学。
这一界定强调了人类对客观世界的数学化、系统化和形式化的把握,从数学视角回答了“世界是什么”这一问题,数学是独立于个体而存在的普遍规律和科学知识。
但如果换一个角度,我们认为“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程”。
从结果到过程的转变,就把高高在上的、独立于个体经验的数学知识与人们活生生的创造活动结合起来。
使人们意识到数学只是人们在生产和生活实际中达成的共识而已,它可以改变,更可以创造,而不是独立于客观世界的另一种精神世界。
因此,数学学习绝不是由外而内的接受的过程,而是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,提供学生现实的、有意义的、富有挑战性的学习材料,让学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流,经历数学知识的形成、发展过程。
也就是让学生体验数学。
二是教育学依据。
多元化的数学教育目标使体验数学成为必要。
此次课程改革的教育目标旨在促进学生全面、持续、和谐地发展,提出了知识与技能、过程与方法、情感与态度三大类目标,数学课程目标又具体化为知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面。
其中数学思考主要体现为数感、符号感、空间观念、统计观念,解决问题主要体现为应用意识。
这些与主体感受密切有关的目标和可以编码、传承的陈述性知识不同,它们无法通过教师的传递获得。
如果我们把知识分为陈述性、程序性、策略性、倾向性四类,那么,不同的知识类型要内化,进而纳入学生的认知结构,不能仅仅是对书本知识的口头重复,必然需要不同的学习方式。
陈述性知识可以传承,传承不仅要有效果,而且要有效率;程序性知识的真正把握是习得,也就是在练习中获得;策略性知识是在解决新问题情境的过程中逐步感悟、积累的;倾向性知识指的是情感态度、各种观念等,它必须依靠主体的各种体验才能使独立于个体的外在知识转化为个体内在的态度与信念,进而支配人的行为。
因此,体验也就成为数学教育的过程性目标之一。
三是心理学依据。
学生究竟是怎么学习的?
建构主义认为,学习是个体以已有的认知结构为基础,通过与客观对象的相互作用而主动建构的过程,它决不是对客观世界的简单复制和被动映射。
因此,学生各种“做数学”的自主探索活动和合作交流活动提供了学生主动建构的时空。
卢梭告诫我们:
“由于所有一切都是通过人的感官而进入人的头脑的,所以人的最初的理解是一种感性的理解,正是有了这种感性的理解做基础,理智的理解才得以实现,所以说,我们最初的哲学老师是我们的脚、我们的手和我们的眼睛。
用书本来代替这些东西,那就不是在教我们自己推理,而是在教我们利用别人的推理,在教我们老是相信别人的话,而不是自己去学习。
”因此,让学生动手、动脑体验数学就成为重要的数学学习方式。
二
在学习目标和学习时间相对确定的前提下,让学生体验数学是有条件的。
是否所有的数学知识都让学生体验?
回答是否定的,我们认为既无可能也无必要。
那么在数学学习中主要让学生体验什么呢?
(一)体验数学与现实世界的关系
数学源于生活,又高于生活,许多数学知识与生活有密切联系。
如果能让学生体验数学知识产生的生活背景,不仅可以让学生更深刻地领会知识,而且也回答了为什么学的问题。
如平均数这一统计概念的学习,我们认为并不能仅仅停留在对平均数概念的理解和平均数的计算方法上。
如果教师能充分关注为什么可以通过计算平均数来描述一个事物的集中趋势或比较两个事物的特征,那么学生不仅能体会到描述事物的特征可以通过数据,而且能学会在不同的条件下收集不同的代表数加以整理和分析,以预测某一事物的发展趋势或刻画事物的不同特征。
在“三角形内角和”教学中,教师通过打碎了三角形玻璃窗,要重新配玻璃的生活情境引入,让学生观察如何利用已碎的玻璃去配置一块大小一样的玻璃。
学生根据生活经验,发现留有两个角的玻璃可以利用,进而教师提出了若干值得探究的数学问题:
为什么留有两个角的玻璃碎片可以知道原来玻璃的大小?
三角形的内角和是不是确定的?
如果确定,那么三个内角度数的和是多少度?
把三角形内角的学习作为解决问题的前提条件,这样的数学教学就不是“掐头去尾烧中段”,而是让学生知道学什么、为什么学、怎样学。
因此,如何在教学中通过教学情境的创设,让学生体会到为什么的问题是值得教师重视的,这也正是目前课堂教学中所匮乏的。
(二)体验数学概念的形成
小学阶段数学概念主要可分为发生式概念和属差式概念两类。
所谓发生式概念是指这一数学概念是动态生成的,如分数是指把单位1平均分成若干份,取其中一份或几份的数。
这类数学概念是把概念的形成过程作为概念的内涵。
教学中要提供学生时间和空间,充分体验发生式概念的形成过程。
属差式概念是通过种概念与属概念的差异来界定概念的内涵的。
如平行四边形是指两组对边分别平行的四边形。
在这一概念中,平行四边形是四边形的下位概念,它与四边形的区别就在于两组对边是否平行。
因此,属差式的数学概念的学习就应该让学生充分体验种概念与属概念间的关系。
如长方形与正方形的认识,在教学设计中就要创设情境让学生体验正方形是长方形的一个特例。
教师可以通过多媒体的演示,使长方形的长边缩短成与宽边一样,就形成了正方形,而当长边继续缩短,图形又成了长方形,在长边的这一运动变化过程中,正方形只是该运动中的一个特例。
这样异中求同,同中辨异,获得对所学概念的理解。
(三)体验数学运算的意义与算法的多样性
数学运算是数学学习中的重要内容。
小学阶段让学生真正理解加减乘除的运算意义是解决各种数学问题的基础。
研究表明,学生对加减乘除意义的最初理解是依赖于具体情境的。
英国教育学者休格斯(M.Hughes)证明了当数在没有与有意义的情境相联系时,儿童在理解简单的加减法数目时会有困难。
情境可以赋予数以意义,从而使抽象的数成为具体的物体。
因此,教学中通过创设各种蕴涵加减乘除意义的生活情境,是让学生掌握运算意义的重要途径。
那么,哪些生活情境可以作为理解运算意义的教学情境呢?
对加减法而言,有两个量比较的情境、把两个量合起来的情境和从总体中去掉一部分的情境。
乘除法的情境有“一对多”的情境、平分的情境、两个变量共变的情境。
如果在教学中通过创设多个具体情境,让学生从中抽象出具体情境中蕴涵的本质关系,学生就能普遍而深刻地理解运算的基本意义,进而可以灵活地解决各种数学与实际生活中的问题。
然而,现实的数学教学中,尤其是应用题的教学往往还存在着一例一教或一类一教的现象,这种教学虽然发展了学生的解题技巧,但缩小了学生的思维空间,没有发展他们的数学理解和思考能力。
因此,让学生体验数学运算的基本意义,是值得教师关注的有价值的问题。
数学问题的解决过程,实质上是算法过程的学习与理解的过程。
一个数学问题通常可以拥有多种算法,它不仅包括运算的形式(心算、笔算、估算、计算器计算),而且包括运算的具体方法。
在小学阶段我们强调算法的多样化,是指鼓励学生主动设计、使用和讨论所开发的算法,让学生体会到不同的算法对不同的个体、不同的问题有不同的价值。
但在解决某一数学问题时,我们必须从中选择最佳算法。
当然对于一些基本运算,教学中往往有一些标准算法,但如果学生没有探索过标准算法形成的“原始”过程,学生就不能真正理解标准算法的意义,而只是运算技能的操练而已。
因此,鼓励学生自己探索、开发、比较多种运算方法,不仅是解决数学问题的学习过程,而且也是学习各种标准算法的基本过程。
除了让学生体验以上数学学习的基本内容外,还包括体验数学内容中隐含的数学思想方法和数学学习的情感与态度。
我们认为,教师如果能充分关注学生值得体验的内容,提供学生体验的时间与空间,那么他就能真正把握住数学教学的过程性目标,促进学生全面、持续、和谐地发展。
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