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从学生的答题谈学生对数学概念的理解
从学生的答题谈学生对数学概念的理解
杭州市余杭实验中学尹丽文
在数学教学中,我经常会遇到这样的情况:
当我要求学生描述概念的定义时,他们往往能够给予流利而圆满的回答,但却经常不能正确地运用它们解决有关问题。
我在教学实践中,也遇到了类似的情况,比如在学习直线与平面的位置关系时,有的学生可能把“直线在平面内”写成“
”;“直线在平面外”,有的学生就认为“直线上所有的点都在平面外”,倘若你提问他直线与平面有几种位置关系时,他却能给出流利的回答:
“共有三种,直线与平面平行,直线与平面相交和直线在平面内”。
正确而流利的回答恰恰掩盖了学生并不理解的本质,这种现象在中学数学教学实践中比比皆是,我们称之为假性理解。
究其原因,我认为,大多数学生是因为对数学概念、定理、法则等的本质内涵根本不理解或理解不深刻,一味地死记硬背、套题型做习题。
这与教师在教学过程中过多注重“题海战术”“大运动量训练”,忽视学生对数学知识的深刻理解有一定的关系。
本文针对上述所列问题,进行深入分析,谈谈促进高中生数学概念理解的几条措施。
一、提供尽可能多的感性材料,让学生有比较直观的感性认识
数学概念、性质、定理等具有高度的抽象性和概括性,如果直接理解,肯定会存在困难,所以在数学教学中,教师应该为学生提供一些实物、模型、教具、教学软件等丰富的数学学习材料,让学生有充分的时间对具体事物进行操作,使他们获得学习新知识所需要的具体经验,通过自己的思维活动来形成对概念的理解,而不是通过机械的重复,记住教师所讲述的那些关于概念的现成解释,这样学生所获得的知识才是全面的、清晰的、牢固的。
我在教学过程中,采取了以下的措施:
1、让学生勤于动手动笔
例如,在讲授等角定理的时候,就可以先让每个学生利用直尺在白纸上作两个角使得这两个角的两边分别平行并且方向相同,并用剪刀剪下这两个角,然后进行对照,看看这两个角能否重合,这时学生们会发现是能够重合的,接下来让学生改变这两个角的方向,并进行再对照,这样学生自然会发现这两个角的角度之间的另一种关系。
此时,教师再启发学生,总结出:
如果两个角的两边分别平行并且方向相同则这两个角相等,若方向相反则这两个角互补。
这种教学方式,既活跃了课堂气氛,激发了学生的学习兴趣,又使抽象的数学知识蕴于简单实验之中,使学生易于接受新知识,并且记住了这个定理,将来运用的时候这次的简单实验会留下很深的印象。
2、数形结合提高学生的理解能力
例如,解一元二次不等式是高中数学教学中的一个难点,关键在于学生的运算能力相对比较弱,更重要的是学生的二次函数的基础不是很好。
因此为了突破难点,我在教学过程中,从一元一次不等式组的解法开始,运用设计图1图4的复合幻灯片,我结合图片,逐一进行分析、概括,这样学生对一元一次不等式组的解就会有一个清晰的认识。
图1
图2
图3
图4
变换到二次函数时,采用课本上的三个图形,进而解决一元二次不等式解集的问题。
3.合理地利用现代化多媒体技术
例如,在讲授“平面向量的运用”时,需对“向量的平移”这一概念进行理解。
因此,运用计算机辅助教学,讲解了“点关于点对称”、“点关于轴对称”、“图形关于轴对称”,这样制作了一只会“飞”的彩蝶以及降碍墙,彩蝶刚一“飞”上屏幕,就会吸引全体同学的注意力,这时要启发引导学生观察蝴蝶的两只翅膀,由此,学生很快就能从蝴蝶两只翅膀在运动中的现象得出轴对称的形象,并且能举出许多轴对称的实例。
接下来,在屏幕上演示轴对称三角形,引导学生找出对称点和对称轴、对称线段与对称轴的关系,最后得到用多媒体演示彩蝶飞的过程中身体各个部位所飞过的路线。
如此这样引出了“平移向量“的概念。
通过这种方式,不仅使学生复习了旧的概念,而且还培养学生认识到数学知识之间的相互联系,更能使得抽象的数学概念成为看得见、摸得着的东西,从而内化到学生的知识结构中,从而取得较好的教学实效。
应用现代化教学手段,可以使教学中“死”的图形“动”起来,把“死”的书本知识“活”起来,它可以为学生提供生动、直观的材料,从而开阔了视野,拓展了知识结构。
二、重视创设问题情境
在设置问题情境时,可以从以下几个方面人手:
1、让学生非常清楚地知道自己将要学到什么
它是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。
我举一个初中数学中的公式法分解因式的第一节课—平方差公式为例子,教师是这样来创设问题情境:
师:
在一次智力竞赛中,主持人提供了2道题:
“
?
?
”主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说:
“第1题等于169,第2题等于800。
”该学生回答的速度之快,给人以不假思索之感。
同学们,你们知道他是如何计算的吗?
这时,学生们开始沉默,思考这个问题,但始终没有得出什么结论……
师:
今天,学了平方差公式,我们就可以揭开这个谜底,这样创设问题情境,就使学生产生了“我也要成为他那样的快速抢答者”的渴望,从而积极投入到学习中去。
因此,多思多创设情境,激发学生深厚的兴趣和强烈的求知欲。
2、在现有的知识基础上构造认知冲突
当新的学习与学生原有的知识水平之间产生认知冲突时,这种冲突就会成为诱发和促进学生思维发展的动力,使他们产生弥补“心理缺口”的愿望。
例如,在“直线与平面垂直的判定定理”的教学中,教师可以这样创设问题情境:
如图所示,平面α及直线AP,要证明直线和平面垂直则要证明直线和平面上所有的直线垂直。
教师准备了几个砖的模型,叠了起来,要学生来判断是否垂直桌面?
过一会后,教师拿出了折尺,比画了两下,得出了结论,是垂直的,学生满脸惊异地看着老师问“为什么?
不是要和桌面上所有的直线都垂直才能下结论吗?
”这时,教师再指出:
“只要我们掌握了直线和平面垂直的判定定理就能理解我刚才的表演的结论了。
”这时,学生已产生了心理缺口-----—如何证明刚才的过程呢?
这样,学生就会积极地投人到新知识的学习中去。
3、一定要创设学生熟悉的问题情境
虽然高中学生的理解能力、逻辑思维能力以及抽象概括能力都相对比较强,但是最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际的角度出发设置问题情境,这样才能保证学生有相关的观念来理解概念,也才有可能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。
例如,教师在讲交集、并集、补集的概念的时候,可以这样引入新课:
杭州市余杭实验中学高一某某班共有40个同学,有30个同学参加数学竞赛,有20个同学参加英语竞赛,问既参加数学竞赛又参加英语竞赛的学生有多少个?
全班有多少人次参加竞赛?
多少人没参加数学竞赛?
这是一道很简单的算术题,同学们很快算出来了。
请问怎样算出来的?
用新的数学知识集合知识解决呢?
引出上述三个概念。
这样讲课不仅把抽象的数学概念同我们的实际生活联系在一起,而且起到了提高了学生的学习数学的兴趣:
数学确实有趣并且有用。
最重要的是易于理解,也会让学生感受到知识的价值感。
三、使得概念能够进一步被理解,特别要注重变式的应用
1、通过非标准变式,突出概念的本质属性
在概念的对象集合中,尽管从逻辑的角度看,每个对象都是等价的,但实际上,它们在学生的概念系统中的地位并不相同。
这是因为,其中一些对象由于其拥有“标准的”形式、或者受到学生感性经验的影响而成为所谓的标准形。
标准形虽然有利于学生对概念的准确把握,但也容易限制学生的思维,从而人为地缩小概念的外延,使得学生不能透彻地理解概念。
解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准形:
通过变换概念的非本质属性,突出其本质属性。
在立体几何教学中,许多教师往往用最常见、学生最熟悉的图形进行教学,有的学生理解了,可以以不变应万变,但有的学生却受到这种“标准图形”的制约而产生理解困难,因此,在立体几何教学中,注重图形的多样化,即:
图形的形状、放置方式有多种变化,可以让学生较快的形成正确的表象,拓宽学生的视野,不会局限于一种“标准形”。
例如,在讲解四面体时,可以采用标准形与非标准形的比较,来帮助学生理解。
2、通过概念变式与非概念变式的比较,明确概念的外延
数学概念通常都不是孤立的,而是存在于一个由多种概念组成的概念体系之中,因此,要明确概念的外延就必须分清概念与其相关概念之间的关系,这是理解概念的前提。
我们可以利用所谓的“非概念变式”,如,立体几何中的非概念图形,通过非概念变式与概念变式的比较,来帮助学生理解概念的本质属性。
非概念变式的形式有很多种,其中常用的有“反例变式”,也就是我们平时所说的概念的反例,由于反例具有鲜明的直观特征,容易引起学生的注意,也易于为学生所接受,因此,反例教学是促进学生深刻理解的有效方法之一。
例如,在学习有关棱柱的这一概念时,虽然概念很简单,但是一运用起来就比较的容易混淆起来。
这时教师就可以利用以下的练习来帮助学生澄清错误观念,透彻地理解有关棱柱的概念。
有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱?
有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?
为什么?
分析:
右图:
AA1⊥AB且AA1与底面不垂直时,棱柱为斜棱柱。
左图:
两个相邻侧面与底面垂时,它们的交线也与底面垂直。
四、及时地引导学生对所学知识进行总结
学习数学不能将知识孤立起来、割裂开来,应注意数学知识之间的“横向”和“纵向”的联系。
在数学教学中,教师要引导学生对所学知识进行归纳总结。
1、纵向总结
在学完每单元、每章知识之后,引导学生归纳整理所学知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位及解题技能、技巧方面的结构;在复习时要注意对所学数学概念、思想方法进行归纳、概括,让学生试写这方面的学习体会或写出一章的小节。
当然对知识进行归纳、整理,并不是罗列所学过的定义、定理、法则等,而是建立知识间的内在联系与区别。
通过绘制知识结构框图,知识之间的关系从图中一目了然,这样可以帮助学生形成良好的认知结构。
进一步提高学生对数学概念的理解。
2、横向总结
横向总结就是要把分散在各个单元的知识内容,但又是解决同一类问题的各种知识与方法系统地贯通、串联起来,这样可以为解决同一类问题提供多种方法。
例如,概率这一章节,首先要理解几种概率:
随机事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率的定义的内涵。
然后,作练习时审清楚题意,判断是哪一种概率,再进行解题。
再如:
正方体、长方体、正棱锥的概念及有关性质,转化到平面图形时的正方形、长方形、三角形的有关性质等等,这些概念之间的共同点和不同点,特别是不同点,教师在教学过程中,要重点强调的。
要善于利用时机有意识地锻炼学生,使他们的认知结构逐步完善。
五、重视提高学生的数学交流能力和数学语言表达能力
1、加强数学语言之间互译的训练
在《高中数学课程标准》中,着重指出了:
高中数学的具体目标之一就是:
提高学生数学的提出、分析和解决问题的能力,数学表达和交流的能力、发展独立获取数学知识的能力。
而学生要真正理解、掌握和运用它们,不能只用某一种数学语言表述的,要能灵活运用三种数学语言(文字语言、图形语言、符号语言)进行表述。
例如,几何中的定理均是用文字语言表述的,但证题时的论证需借助于符号语言表达,而其间图形语言作为文字语言和符号语言的补充,为数学思维提供了直观模型。
所以,应在几何教学中做好三种语言的沟通和互译。
2、引导学生的数学的交流和数学的合作
在课堂上,教师要适当地改变教学组织形式,开展小组学习,为学生提供一个宽松自由的学习环境,使他们在学习过程中有充分的独立空间。
小组内交流要为每一个学生提供一个平等参与的机会,使学生在独立思考的基础上与他人合作,彼此交流、倾听、解释,思考他人的观点以及自己进行反思,经过这一过程使原来模糊的认识得到澄清。
在小组学习中,教师要充分发挥其引导作用,这就要求教师做到以下几点:
首先,要设计出学生感兴趣的问题,学生在求解问题时,要动手、动脑,要全身心的投入,要与其他同学合作,否则无法完成;其次,教师要积极巡视和掌握学生讨论的动向,对学生的各种不同意见作进一步的比较与评价,引导学生发现各种解答可能存在的逻辑关系;第三,教师还要启发鼓励那些不善于讲话、成绩落后的学生大胆开口讲话,发表自己的见解。
当然,教师也可以适当地将一些常规性题目改造为开放型题。
如可以把条件、结论完整的题目改造成给出条件,先猜结论,再进行证明的形式;也可以改造成题目给出多个条件,需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目;还可以改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目,以加强发散性思维的训练。
此外,将题目的条件、结论拓宽,使其演变为一个发展性问题,或给出结论,再让学生探求条件等,都是使常规性题目变为开放题的有效方法。
六、提高学生的反思能力
1、要求学生养成记“数学日记”的习惯
所谓“数学日记”,是让学生以日记的形式记录下他们自己对每次数学教学内容的理解、评价及意见,其中包括自己在数学活动中的真实心态和想法,如学生可以自由表达自己关心的或者渴望倾诉的问题、自己的成绩、失败以及学习中存在的问题等。
“数学日记”可以作为教师了解学生心理、思维及非智力因素等个体差异的工具,为教师改进教学提供依据。
2、引导学生对自己的作业进行自我分析
具体做法是要求学生把作业本划分为两栏,一边写出问题的解答,另一边写出每个问题的解释和思路。
如果遇到不会的问题,允许学生不做,但必须写出自己的思路,存在的疑问及思路症结。
这一措施为我们了解学生的学习状况提供了大量的第一手资料。
3、指导学生进行自我提问
学生的自我提问要贯彻到学习的每一环节中去,具体做法如下:
对习题的自我提问包括以下几个方面:
自己哪些地方走了弯路?
什么地方是题目的难点和容易出错的地方在哪?
在解题过程运用了哪些方法和技巧?
它们还可用于其他什么类型的题目?
还能不能运用更简单的方法来解?
习题的特殊情况或类似情况是否成立?
可否推广?
如果未解出习题;知道解法后还应反问自己:
在哪一个环节抓不到头绪?
解法中使用了什么自己没有想到的知识和技巧?
体会一下下次做此类题应用什么方法来解
对数学概念学习的自我提问方式:
我可以用数学符号、图形、数学语言表述这个概念吗?
可以举出该概念的具体例子吗?
(尽可能多的举出)能够找出该概念的反例吗?
这个概念的实质是什么?
适用范围是什么?
以前是否学习过与这个概念有关的一些概念?
(找出它们的相同点或不同点)能够运用这个概念解决问题了吗?
对数学定理学习的自我提问方式:
这个定理是在怎样的背景下提出来的?
能够运用自己的语言复述这个定理吗?
该定理成立的条件是什么?
运用这个定理可以解决哪些问题?
参考文献
〔1〕《“超回归”数学理解模型》李淑文,张同君数学教育学报;
〔2〕《数学学习心理的CPFS结构理论》喻乎,单墫数学教育学报;
〔3〕《熟能生巧吗》李士铸数学教育学报;
〔4〕《试论反思性数学学习》涂荣豹数学教育学报;
〔5〕《高中数学课程标准》中华人民共和国教育部制订。
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- 关 键 词:
- 学生 答题 对数 概念 理解